ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Résolution de l'équation du premier degré       » Notion d'équation , équation du second degré , inéquations        »  degré 2 | degré 3 | degré 4

Une équation d'inconnue x est dite du premier degré (ou 1er degré) si elle peut se ramener par des transformations régulières à la forme ax + b = 0 où a et b sont des nombres réels (ou complexes) donnés, a étant non nul. Dans l'écriture ax + b = 0, le membre de gauche est un polynôme du 1er degré : c'est à dire un binôme (deux termes) du premier degré.

Clairaut, en 1743, parlait déjà d'équation du 1er degré. d'Alembert, en 1752, dans son Encyclopédie, parle d'équation linéaire (du latin linea = ligne droite) pour signifier que l'inconnue n'apparait qu'au premier degré : pas d'exposant entier ou fractionnaire.

• 5x + 3 = 8 - x est une équation du premier d'inconnue x, car en ajoutant x dans les deux membres, on conserve l'égalité en obtenant 6x + 3 = 8 et en retirant ensuite 8 dans les deux membres, on obtient 6x - 5 = 0 : polynôme du 1er degré en x, conforme à la définition.

Pour résoudre une équation du 1er degré , c'est à dire calculer la valeur de l'inconnue réalisant l'égalité effective des deux membres de l'équation), on a tout intérêt à faire passer, de façon régulière, l'inconnue à gauche du signe égal et les nombres à droite :

5x + 3 = 8 - x ⇔  5x + x = 8 - 3  ⇔  6x = 5  ⇔  x = 5/6.

 ➔  L'équation ax + by + c = 0 est une équation linéaire à 2 variables x et y. En termes de fonction, on distingue aujourd'hui les appellations f(x) = ax : fonction linéaire et f(x) = ax + b : fonction affine (terme moderne, du latin affinis = voisin, allié), dont les représentations graphiques sont des droites (des lignes).

Discussion et résolution :         

♦ 1. Si b = 0, l'équation se réduit à ax = 0 : c'est un cas trivial paradoxalement mal résolu au collège où l'on rencontre trop souvent la réponse x = - a, confusion classique avec l'équation x + a = 0.

Si a est non nul, l'unique solution de l'équation ax = 0 est x = 0

car il s'agit là d'un produit nul a × x = 0 et a étant non nul, x l'est nécessairement.

• 5x + 3(2 + x) = 6  ⇔  5x + 6 + 3x = 6  ⇔  8x = 0. La solution est x = 0.

♦ 2.  Si a = 0, l'équation se réduit à b = 0 : c'est un cas trivial qui conduit à aucune solution ou bien une infinité :

• 5x + 3(2 + x) = 8x - 4  ⇔  5x + 6 + 3x = 8x - 4  ⇔  8x - 8x  = -4 - 6   ⇔  0 = -10 :  faux; il n'y a donc pas de solution.
• 5x + 3(2 + x) = 8x + 6  ⇔  5x + 6 + 3x = 8x + 6  ⇔  8x - 8x  = 6 - 6   ⇔  0 = 0 :  vrai ; il y a une infinité de solutions.

♦ 3.  Si b ≠ 0, l'équation ax + b = 0 est équivalente à ax = - b et la solution est x = -b/a par division par a.

3 - 7x = 5 - x   - 7x + x = 5 - 3   - 6x = 2   6x = - 2   x = - 2/6   x = - 1/3

4x - 1 = 2(3x - 1) + 5  4x - 1 = 6x - 2 + 5  4x - 6x = -2 + 5 + 1  - 2x = 4  2x = - 4  x = -4/2  x = -2

3x + 1 = 2 × 5        3x + 1 = 10     3x = 10 - 1      3x = 9    x = 9/3    x = 3

(3x + 1) × 3 = 2x × 5       9x + 3 = 10x    9x - 10x = -3     - x = -3    x = -3

Autoévaluation niveau 5è :  »

∗∗∗  Petits problèmes d'algèbre niveau 5è/4ème

♦ Il y a autant de moutons dans le tiers de mon troupeau que lorsque 20 d'entre eux le quittent pour aller boire. Combien ai-je de moutons dans mon troupeau ?

Rép : si x désigne le nombre cherché, on a x/3 = x - 20, d'où 2x = 60;  x =30.

♦ Dans mon porte-monnaie, j'avais une certaine somme. J'en ai dépensé le tiers et y ai remis 2 €. Quelque temps après j'ai dépensé le quart de son contenu et il me restait alors 6 €. Combien contenait donc initialement mon porte-monnaie ?

Rép : si S désigne la somme cherchée exprimée en euros, avant la seconde dépense, il restait 2S/3 + 2. Après la seconde dépense les 3/4 de ce reste égalent 6. Donc 3(2S/3 + 2)/4 = 6. J'avais 9 €.

♦ Dans une salle de permanence d'un collège, un tiers des élèves s'adonne aux mathématiques, un quart a préféré apprendre la leçon de géographie et le reste, 10 élèves, bavarde en attendant que ça sonne.... Combien y a-t-il d'élèves dans la salle ?

Rép : si x désigne le nombre cherché, on a x - x/3 - x/4 = 10, d'où 5x = 120;  x = 24.

♦ Après une évaluation, une classe a été répartie en 4 groupes : 15% dans le groupe 1, 40% dans le groupe 2, un quart dans le groupe 3 et le reste, 6 élèves, dans le groupe 4. Combien y a-t-il d'élèves dans cette classe ?

Rép : 15 + 40 + 25 = 80. 100 - 80 = 20 : donc 6 élèves correspondent à 20% du nombre d'élèves de cette classe; par conséquent 100% de élèves correspondent à 5 × 6 = 30 élèves : il y a 30 élèves dans cette classe.
En termes d'équation, on serait conduit à écrire : x - 15x/100 - 40x/100 - x/4 = 6, donc 20x/100 = 6; 20x = 600; x = 600/20 = 30.

♦ En 2005, un père a 43 ans et son fils 24. En quelle année l'âge du père fut ou sera, le double de l'âge du fils ?

Rép : si x désigne le nombre d'années dans le futur ou le passé nous séparant du phénomène indiqué, on a 2 × (24 + x) = 43 + x, d'où 48 + 2x = 43 + x; x = -5. Cette réponse négative indique que le phénomène a eu lieu il y a 5 ans : en l'an 2000.  » on pourra reprendre l'exercice en remplaçant double par triple...

∗∗∗ niveau 4è/3ème

♦ Le produit de nombres consécutifs diminue de 22 lorsqu'on les diminue chacun de 2 unités. Quels sont ces nombres ?

Rép : si x désigne le plus petit, l'autre est x + 1 et on a alors : (x - 2)(x - 1) = x(x + 1) - 22. D'où x² - 3x + 2 = x² + x - 22; les x² s'éliminent et finalement x = 6. Les nombres cherchés sont donc 6 et 7. Vérification : 6 × 7 = 42; 4 × 5 = 20; 42 - 20 = 22.

∗∗∗   Autres petits problèmes du 1er degré niveau collège