ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
  L'équation du
4ème degré selon Ludovico Ferrari
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Soit l'équation d'inconnue x, à coefficients réels, a non nul :
Divisons par a et posons x = X - b/4a . Le terme en x3 disparaît et (e) se ramène alors à la forme équivalente :
avec A = -3b2/8a2 + c/a , B = (b/2)3/a3 - ½bc/a2 + d/a , C = -3(b/4a)4 + c(b/4)2/a3 - ¼bd/a2 + e/a.
Si B = 0, on se ramène au second degré en posant X2 = Y : l'équation prend la forme Y2 + AY + C = 0. On parle d'équation bicarrée sous la condition Y ≥ 0. On a alors X = ± √Y.
Supposons B non nul. On peut avoir l'idée de faire apparaître un carré en considérant X4 + AX2 comme le début du carré de X2 + A/2, mais cela ne conduit à rien. Maintenons cependant cette idée en introduisant une inconnue auxiliaire u en calculant
(X2 + u/2)2 = X4 + uX2 + u2/4,
ce qui permet d'écrire :
(e2) : (X2 + u/2)2 = (u - A)X2 - BX + u2/4 - C
équivalente à (e1) pour toute valeur de u.
On impose les conditions u ≠ A et on force Δ = 0, où Δ est le discriminant de l'équation en X du second membre, ce qui conduit à une équation du 3ème degré, dite équation résolvante :
(e3) : u3 - Au2 - 4Cu + 4AC - B2 = 0
équation du 3e degré que l'on sait résoudre selon la formule de Cardan.
» on note que l'égalité u =
A ne peut avoir lieu car cela impliquerait, dans (e3), B = 0 : ce
qui n'est pas le cas.
où z désigne la solution double du second membre de (e2) correspondant à une racine réelle u de (e3), à savoir :
➔ Il existe au moins une racine u de la sorte car d'une part, l'image de A par le polynôme p du premier membre de (e3) est p(A) = - B2 < 0, d'autre part la limite de p pour u infini est infinie, ce qui prouve que p s'annule sur ]A,+∞[.
Dans ces conditions, la résolution se ramène à deux équations du second degré. On voit que, dans R, l'équation du quatrième degré possède 0, 2 ou 4 solutions (éventuellement multiples).
| Un exemple de résolution : |
En posant x = X + 1/2, on se ramène à : X4 + 3X2/2 + 6X - 119/16 = 0. On a donc ici A = 3/2, B = 6 et C = -119/16. L'équation résolvante est alors : u3 - Au2 - 4Cu + 4AC - B2 = 0, soit :
8u3 - 12u2 + 238u - 645 = 0
Selon la méthode de Cardan, on divise par 8, on pose u = t + 1/2, ce qui nous ramène à :
On remarque, sans utiliser la formule de Cardan que t = 2 est une solution évidente. Par suite u = 5/2 annule notre discriminant et nous avons u - A = 1, d'où z = 3. Remplaçons u et z par leurs valeurs dans l'équation bicarrée exhibée (X2 + u/2 )2 = (u - A)(X - z)2 plus haut :
elle devient :
D'où deux équations du second degré X2 - X + 17/4 = 0 (sans solutions) et X2 + X - 7/4 = 0 fournissant :
Or x = X + 1/2 : deux solutions de l'équation sont donc x = √2 et x = - √2 et l'équation (e) est alors divisible par x2 - 2. On obtient :
(x2 - x + 1)( x2 - 2)
Le premier facteur est du second degré, son discriminant est négatif. (e) ne possède que les deux solutions x = ± √2 .
L'équation initiale a donc été résolue algébriquement. Cela est satisfaisant pour l'esprit. Mais sur le plan pratique, une bonne résolution par la méthode des tangentes de Newton, en ayant préalablement séparé les racines, est plus rapide et sans doute aussi efficace...
De plus, la méthode compliquera souvent les calculs alors que l'observation calme et sereine de l'équation conduira à une solution simple... Par exemple : x4 - 2x3 + 3x2 - 2 = 0 !
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Le programme JavaScript : |
L'algorithme est facilement programmable en utilisant en tant que sous-programme pour le calcul de u, celui résolvant l'équation du troisième degré. Les équations bicarrées sont reconnues.
Le programme demandera les coefficients et calculera les éléments nécessaires à l'obtention d'une solution en affichant :
➔ Pour en savoir plus :
