ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Généreuse maman      niveau 2nde à Ter    Source : IREM Paris-Nord - Mathématiques en Seconde -1985

Mes chers enfants, vous m'êtes très chers et très dévoués, aussi j'ai décidé de vous distribuer toutes mes pièces d'or que je conservais jusqu'ici jalousement.

• A mon aîné, j'en donne cinq et un cinquième du reste;
• A mon second, j'en donne 10 et un cinquième du reste;
• A mon troisième, 15 et un cinquième du reste;
• Et ainsi de suite aux suivants : 20 et un cinquième du reste, etc.

« Mais ne vous y trompez pas, vous aurez chacun autant de pièces d'or ! »

Ayant bien écouté cette mère généreuse, pourriez-vous déterminer son nombre d'enfants ?

Indications :   

1. Calculer d'abord le nombre n de pièces d'or, le nombre d'enfants s'en déduira en tenant compte d'une information à ne pas négliger : chaque enfant reçoit autant de pièces d'or.
2. Encore un petit coup de pouce ?... L'aîné reçoit : 5 + (n - 5)/5 pièces et si vous établissez une formule semblable pour le second (un peu plus compliquée il est vrai), la remarque ci-dessus fournit une équation.

Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››

 ➔    Dans la même veine, on peut trouver plus difficile ici... (page 54) :

• Éléments d'Algèbre, par M. Bourdon, Professeur de Mathématiques au Collège royal Henri IV
  Chez Mme Ve Courcier, Libraire, rue du Jardinet-Saint-André-des-Arcs, 1820.
  Voir 14è édition (1874) sur Gallica (BnF) : http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k62124496/

Appelons n le nombre de pièces d'or.

On calcule facilement n et le nombre d'enfants s'en déduit facilement :

• L'aîné reçoit : 5 + (n - 5)/5 = n/5 + 4
• Le second reçoit : 10 + [n -(n/5 + 4) - 10]/5

Puisqu'ils reçoivent le même nombre de pièces, on égalise les donations ci-dessus :

n/5 + 4 = 10 + [n - (n/5 + 4) - 10]/5

On multiplie par 5 chaque membre de l'équation :

n + 20 = 50 + n - (n/5 + 4) - 10

ce qui fournit n = 80 (finir les calculs...).

L'aîné reçoit donc 80/5 + 4 pièces, soit 20 pièces. Il y a donc 4 enfants et on peut vérifier que chaque enfant a bien autant de pièces.