ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 GOLDBACH Christian,
prussien, 1690-1764 |
Après des études de médecine et de mathématiques en la célèbre université de Königsberg, Goldbach parcourt l'Europe et rencontre les grands mathématiciens de son époque. Il se lie d'amitié avec Euler et s'établit finalement en Russie (1725) à l'invitation de la cour impériale où il aura, en plus de son enseignement des mathématiques, de hautes fonctions administratives.
A l'académie des sciences de Saint-Pétersbourg, Goldbach rencontra les frères Bernoulli (Daniel et Nicolas II) avec lesquels il entretint de nombreuses correspondances.
Les travaux de Goldbach porteront sur les séries infinies, les équations algébriques, les intégrales elliptiques, l'arithmétique. Ses célèbres conjectures arithmétiques ouvrent la voie de la théorie additive des nombres dont l'objet est l'étude de la possible décomposition, selon certains critères, d'un entier naturel en une somme d'entiers qui lui sont inférieurs.
Les trois types de théorie des nombres : »
➔ On peut envisager cependant des décomposition où les entiers entrant en jeu peuvent être supérieurs à l'entier objet de la recherche : 2 = 13 + 13, mais on a également 2 = 73 + (-6)3 + (-5)3 (» Waring).
➔ Rappelons que l'on appelle conjecture, toute énoncé que l'on considère comme vrai mais que l'on ne sait pas prouver dans l'état actuel de la connaissance. Pour en savoir plus sur le vocabulaire : assertion , lemme, proposition, propriété, théorème voyez ce paragraphe sur la page consacrée à Euclide.
Un sujet fondamental, initié par Diophante d'Alexandrie au 4è siècle, non encore épuisé de nos jours car susceptible de faire avancer les recherches sur la distribution des nombres premiers et touchant depuis plus de 200 ans, avec Euler et Gauss, à l'analyse réelle et complexe. Élémentaires dans leurs énoncés, les conjectures arithmétiques sont en fait généralement très complexes. L'exemple typique étant bien sûr, le grand théorème de Fermat, résolu par Andrew Wiles en 1993 après 350 ans de recherches.
De très nombreux mathématiciens se sont tout particulièrement penchés sur ce type de problèmes souvent énoncés comme des défis. On peut citer Waring, Lagrange, Cauchy, Hardy et Ramanujan, Littlewood, Vinogradov, Erdös et plus récemment Bombieri et Tao.
Autres conjectures citées dans ChronoMath : »
| La célèbre conjecture de Goldbach pour les nombres pairs (1742) : |
Tout entier pair autre que 2 est la somme de deux nombres premiers
Cette conjecture, d'une rare simplicité dans son énoncé, fut confirmée par Euler auquel Goldbach avait fait appel après en avoir vainement prouvé la véracité. Malgré quelques avancées récentes, elle reste à ce jour (août 2017) un problème ouvert. Au 20è siècle, Hardy a montré que la conjecture est liée à la non moins célèbre hypothèse de Riemann et pourrait en être une conséquence.
Grâce à la puissance de calcul des ordinateurs modernes, l'informaticien portugais, Tomás Oliveira e Silva, professeur à l'université d'Aveiro (Portugal) a pu tester, entre les années 2005 et 2012, tous les nombres pairs de 4 à 4 000 000 000 000 000 000 (quatre milliards de milliards, » réf.1). Comme espérée, la conjecture ne fut pas prise en défaut. En mai 2013, il acheva la vérification des calculs jusqu'à quatre cents millions de milliards.
Programme JavaScript de la conjecture de Goldbach : »
En 1930, le mathématicien russe Lev Shnirelmann a prouvé le résultat suivant :
Il existe un entier naturel k tel que tout entier supérieur à 2 est la somme d'au plus k nombres premiers
Mais quid de l'entier k ?
i Lev Guenrikovitch Shnirelman (1905-1938) : mathématicien russe qui étudia à l'université d'État de Moscou (université Lomonosov). Il obtint son doctorat sous la direction de Nikolaï Lusin en 1929. Ses travaux portèrent sur la topologie et son application au calcul des variations, ainsi qu'en théorie additive des nombres. En 1938, la dictature de Joseph Staline est à son apogée. Surveillé par le NKVD, police politique du pouvoir, futur KGB, Shnirelman est arrêté en 1938. Libéré quelques mois plus tard mais gravement déprimé, il se suicide le 24 septembre 1938.
➔ En 1966, un jeune mathématicien chinois, Chen Jingrun, fit un grand pas dans la résolution de la conjecture en prouvant que :
Tout entier pair autre que 2 est la somme d'un nombre premier et d'un produit d'au plus 5 facteurs premiers.
En 1993, Olivier Ramaré,
mathématicien français, a établi
ce très beau résultat (»
réf.7) :
Tout entier pair est la somme d'au plus six nombres premiers
avec comme corollaire , puisque tout entier impair autre que 1 est de la forme 2n + 1 = 2(n - 1) + 3 avec n ≥ 1 :
Tout entier supérieur à 1 est la somme d'au plus sept nombres premiers
i Olivier Ramaré (1966-) : mathématicien français, spécialiste en théorie des nombres. Après sa formation à l'École normale supérieures (Paris-St cloud, 1985-89), il étudia à l'université de Bordeaux de 1985 à 1992. Sa thèse soutenue en 1991 s'intitulait Contribution au problème de Goldbach : tout entier > 1 est somme d'au plus 13 nombres premiers. Invité une année à l'Institut for Advanced study de Pinceton (1992-93), Olivier Ramaré obtient à son retour un poste à l'université de Nancy (Labo. Élie Cartan) puis Lille (Labo Paul Painlevé) de 1996 à 2016. Depuis 2016, il est chargé de recherche au CNRS à l'institut de mathématiques de Marseille (IMA). Source bio. et portrait : IMA. HomePage : https://ramare-olivier.github.io/index.html
Une dépêche du journal en ligne Le Monde.fr en date du 21 mai 2012, intitulée La difficile ascension vers la résolution d'un problème mathématique nous apprend que l'australien Terence Tao (médaille Fields 2010) a prouvé que la somme peut se réduire à cinq nombres premiers. Olivier Ramaré écrit :
Avec la méthode que j'avais utilisée et que Terence Tao poursuit, nous savons que nous ne pourrons pas aller jusqu'à la démonstration finale. Il y a un obstacle théorique. On a même du mal à s'approcher d'une méthode différente permettant d'aborder cette ultime question. Peut-être qu'on ne verra pas la démonstration avant mille ans ! (...) Ces travaux sont cependant intéressants car pour aborder la démonstration finale, nous avons besoin de comprendre les entiers et les nombres premiers. Les outils et méthodes développés dans des cas plus 'simples' pourront donc être utiles. On ne sait jamais...
➔ Une conjecture comparable à celle de Goldbach, encore non prouvée et non mise en défaut à ce jour, affirme :
Tout entier pair est différence de deux nombres premiers jumeaux
La décomposition n'est généralement pas unique, comme le montre le cas suivant : 24 = 5 + 19 = 7 + 17
| Conjecture de Goldbach pour les entiers impairs (1753) invalidée en 1854 par Moritz Stern : |
Dans une de ses nombreuses correspondances avec Euler, Goldbach émet la conjecture suivante (Lettre CLII, page 601 et réponse de Euler, » réf.8) :
Tout entier impair (non premier) peut s'écrire p + 2k2, somme d'un nombre premier et du double d'un carré
3 = 1 + 2 × 12 : refusé de nos jours, car 1 n'est plus considéré comme premier
5 = 3 + 2 × 12 ; 11 = 3 + 2 × 22 ;
17, qui est premier, ne se décompose pas : a = 0 ; cependant 41 = 23 + 2 × 32 ; ... ; 101 = 29 + 2 × 62 ; ...
Goldbach dit avoir testé la conjecture sur les 1000 premiers entiers. Euler étudie le problème. Faute de pouvoir établir une preuve, il pousse les tests jusqu'à 2500 afin de trouver un contre-exemple (un gros travail sans calculatrice...). La conjecture résiste. Il envisage la véracité de la conjecture. Ce sera le mathématicien allemand Moritz Stern qui apportera deux contre-exemples en 1854 (un siècle plus tard) : 5777 et 5993 invalident cette conjecture.
Algorithme de recherche de décomposition n = p + 2k2 : »
| La conjecture "faible" (ou impaire) de Goldbach, résolue en 2013 : |
On parle de conjecture faible de Goldbach pour exprimer que :
Tout entier impair au moins égal à 7 est somme de trois nombres premiers
• 7 = 2 + 2 + 3 ; 87 = 31 + 19 + 37 (par exemple...), ...
Il est clair que la preuve de la conjecture sur les entiers pairs entraîne celle sur les entiers impairs : en effet, tout nombre impair est de la forme 2n + 1 = 2(n - 1) + 3 ; si la conjecture de Goldbach est vraie, alors, pour n au moins égal à 3, 2(n - 1) peut s'écrire p + q, p et q premiers. 2n + 1 = p + q + 3, p ≥ 2, q ≥ 2.
En refusant 2 (unique nombre premier pair) dans la décomposition, on ne restreint pas le problème et la (l'ex) conjecture faible devient :
Tout nombre impair au moins égal à 9 est somme de trois nombres premier impairs
Cette conjecture faible fut partiellement prouvé par Vinogradov
en 1937 pour tout entier impair
supérieur à
.
En mai 2013, un jeune mathématicien franco-péruvien, Harald A. Helfgott, a soumis une preuve de
cette conjecture qui fut validée en 2015 (»
réf.9), devançant ainsi les recherches de
Terence Tao sur le sujet, lequel émit un avis critique
sur cette preuve.
i Harald Andrès Helfgott : mathématicien franco-péruvien, hargé de recherches au CNRS, attaché à l'ENS Paris, diplômé de Princeton, titulaire de la chaire Humboldt de l'université de Göttingen. Page d'accueil de H. A. Helfgott sur le site de l'ENS.
Rencontre avec Harald Helfgott (vidéo) : » Autres conjectures évoquées dans ChronoMath : »
| Théorie des partitions : |
Les problèmes de décomposition évoqués ci-dessus relèvent de la théorie additive des nombres. Entrent dans cette catégorie la décomposition d'un entier en somme de puissances : tout entier naturel peut-il s'écrire comme somme de carrés, de cubes, etc :
Ces problèmes se généralisent à des problèmes combinatoires de décomposition, non seulement de nombres mais aussi d'ensembles, soumise à diverses conditions. On parle de théorie des partitions.
♦ Quel est le nombre maximum de régions que l'on peut tracer sur une surface afin d'en obtenir une partition telle que deux régions quelconques possèdent (au moins) une frontière commune. Pour le plan ou la sphère, ce nombre correspond au nombre chromatique.
♦ Combien un entier naturel n admet-il de décompositions en sommes d'entiers non nuls. Par exemple :
n = 4 = 3 + 1 = 2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1
n = 5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1 = 2 + 2 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1
n = 8 = 7 + 1 = 6 + 2 = 5 + 3 = 4 + 4 = ... pourriez-vous trouver les 17 autres décompositions ?
Comme pour la conjecture de Goldbach, ces problèmes d'apparence simple (dans leur exposition) sont très difficiles. Le premier relève de la topologie algébrique. Le second, dans son cas le plus général, relève de l'analyse complexe (on sort du champ arithmétique élémentaire), il fut en particulier étudié par Polya (1915) Hardy et Ramanujan. Ce dernier établit (1918) une formule asymptotique (formule approchée pour n "grand"). En 1937, Rademacher donna une solution d'une remarquable complexité... (» réf.9).
Partition d'un entier naturel, formule de récurrence et programmation : »
∗∗∗
1.
Un distributeur de billets de banque doit
déterminer la (ou les) combinaison(s) de billets disponibles dont la somme
correspond à votre demande.
Par exemple, si vous demandez 120 €, quelles sont
toutes les combinaisons possibles si le distributeur possède des billets de 5,
10, 20 et 50 euros ?
2.
On trace n droites d'un plan. Quel est le nombre maximum Rn de
régions qu'elles peuvent former (bornées ou non) ?
(on montrera que Rn+1 = Rn + n + 1).
Rép. : (n2 + n + 2)/2.
3. Variante du précédent : Quel
est le nombre maximum Bn de régions bornées qu'elles peuvent
former ?
(on montrera que Bn+1 = Bn + n + 1 - 2).
Rép. : (n2 - 3n +
2)/2.
➔ Pour en savoir plus :
Stirling
