ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Équations différentielles linéaires du second ordre        » premier ordre         Méthode de la variation de la constante        ∗∗∗ exercices , équation différentielle homogène

Les fonctions x → a(x), x → b(x), x → c(x) et x → d(x) étant continues sur un intervalle J de R, l'équation différentielle linéaire (par rapport à y, y' et y") du second ordre s'écrit sous la forme :

Soit y_o une solution (e). Par différence et en posant Y = y - y_o, on obtient :

Une telle équation est dite sans second membre ou encore homogène : le second membre est nul. Une solution triviale est la solution nulle Y(x) = 0 pour tout x de J.

Propriété fondamentale :      

Si l'équation homogène (h) : a(x)Y" + b(x)Y' + c(x)Y = 0 admet une solution non nulle,
alors l'ensemble des solutions de (h) constitue un espace vectoriel de dimension 2

Preuve : soit y₁ une solution de (h). On peut poser Y = y₁z et rechercher x → z(x) afin que (h) soit vérifiée. On a alors Y' = y'₁z + y₁z', puis Y'' = y''₁z + 2y'₁z' + y₁z''. On reporte dans (h), on regroupe, ce qui ramène à l'équation équivalente (hz) : a(x)y₁z'' + [2a(x)y'₁ + b(x)y₁]z' = 0, laquelle se ramène au 1er ordre en posant Z = z' : A(x)Z' + B(x)Z = 0  avec  A(x) = a(x)y₁   et  B(x) = 2a(x)y'₁ + b(x)y₁. On a donc Z = z' = c₁.e^f(x)  où f(x) désigne une primitive de -B(x)/A(x) et c₁ une constante arbitraire. Une seconde quadrature fournit z = c₁F(x) + c₂, solution générale de (hz), où F(x) désigne une primitive de e^f(x) et c₂ une constante arbitraire. Finalement, la solution générale de (h) est :

Y = y₁z = y₁(c₁F(x) + c₂) = c₁y₁F(x) + c₂y₁

Y est donc combinaison linéaire de deux fonctions x → y₁F(x) et x → y₁. Or ces fonctions sont linéairement indépendantes car le rapport de la 1ère à la seconde est F(x) manifestement non constante.

• Un exemple : soit à résoudre xy" = 2y'. Si y est polynomial, xy" et 2y' sont de même degré. Tentons une solution de la forme y = axⁿ en identifiant les deux membres de l'équation; on a y' = anx^n-1 et y" = an(n-1)x^n-2. Ce qui conduit à n² = 3n, soit n(n - 3) = 0. Deux cas non nuls linéairement indépendants se présentent y₁ = a₁ (constante) et y₂ = a₂x³. On applique la propriété fondamentale : la solution générale est de la forme y = a₁+ a₂x³. » résolution directe.

Conclusion partielle :    

La connaissance de deux solutions linéairement indépendantes y₁ et y₂ de l'équation homogène (h), fournit sa solution générale sous la forme :

où c₁ et c₂ sont des réels arbitraires. Une fois trouvé Y, la solution générale de l'équation (e) initiale s'obtient en ajoutant à Y une solution particulière de (e) comme pour le premier ordre. La résolution de l'équation (e) réside donc dans :

• la recherche de la solution générale de (h);
• la recherche d'une solution particulière de (e);

Cauchy a montré l'existence et l'unicité d'une solution y = f(x) définie sur J et vérifiant les conditions initiales y_o = f(x_o) et y'_o = f'(x_o). Mais, trouver deux solutions y₁ et y₂ n'est pas simple, sauf dans le cas de l'équation homogène à coefficients constants pour lequel Euler exposa sa méthode de l'équation caractéristique :

Cas de coefficients constants :     

L'équation est de la forme :

Cherchons une solution de (hc) sous la forme y = ke^rx où k et r sont des réels à déterminer. L'équation devient :

Si k = 0, alors y est la solution nulle. Sinon, r est solution de l'équation du second degré, dite équation caractéristique :

• Si Δ = b² - 4ac > 0, (ec) admet deux solutions réelles r et r' et Y = c₁e^rx + c₂e^r'x combinaison de deux solutions linéairement indépendantes.
• Si Δ= 0, (ec) admet une solution double r : procédons par la méthode de la variation de la constante en cherchant y sous la forme k(x)e^rx avec r = -b/2a, donc 2ar + b = 0. On obtient, en substituant et en ordonnant :

soit finalement : ak" = 0. Vu a ≠ 0, on peut choisir k(x) = x. Ainsi Y = e^rx(c₁x + c₂), combinaison de deux solutions linéairement indépendantes.

• Si Δ= b² - 4ac < 0, le cas est plus...complexe ! les solutions sont complexes et conjuguées (puisque a, b et c sont réels). Passons outre en posant r = u + iv et r' = u - iv. 

Les solutions peuvent s'écrire formellement y₁ = ke^rx et y₂ = ke^r'x. C'est à dire :

y₁ = ke^uxe^ivx = ke^ux(cosvx + i.sinvx) et y₂ = ke^uxe^-ivx = ke^ux(cosvx - i.sinvx)

On voit alors que les combinaisons (y₁ + y₂)/2 d'une part et -i(y₁ - y₂)/2 d'autre part, sont réelles et indépendantes et valent respectivement ke^uxcosvx et ke^uxsinvx : Y = e^ux(c₁cosvx + c₂sinvx), combinaison de deux solutions linéairement indépendantes.

Vu que r + r' = 2u, r - r' = 2iv et 2ar = (-b ± √|Δ|), on déduit u = -b/2a et v = √(-Δ)/2a.

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Quelques situations pour la recherche de solutions particulières :    

La nature du second membre de l'équation a(x)y" + b(x)y' + c(x)y = d(x) et la linéarité peut aider dans cette recherche. Par exemple :

1. Si les coefficients a(x), b(x), c(x) et d(x) sont polynomiaux, on recherche une solution polynomiale en inspectant les degrés en  utilisant que si y est de degré n, y' est de degré n - 1 et y" de degré n - 2; suivant d(x), il peut ne pas y avoir de solutions.
   Exemple : x³y'' + 2xy' +5x²y =  x⁴ - 1. Rép. : le monôme de plus haut degré est 5x²y doit être de degré 4, donc une solution, si elle existe est de degré 2. Mais le 1er membre est nul en x = 0 et pas le second ...

2. Si d(x) est constant, on se ramène au cas homogène en posant y = z + d/c;

3. Si d(x) est un polynôme de degré n, on cherche une solution du même type;
   Exemple : y'' - y = x² + 1. Rép. : αe^x + βe^-x - x² - 3.

4. Si d(x) est de la forme αe^kx, on cherche une solution de la même forme;

5. Si d(x) est de la forme P(x)e^nx, on se ramène au cas ci-dessus en posant y = Q(x)e^nx;

6. Si d(x) est de la forme a.sin nx, b.cos px ou a.sin nx + b.cos px, on cherche une solution sous cette dernière forme;

7. Si d(x) est de la forme e^nx.sin px, on posera y = e^nx(a.sin nx + b.cos nx).

8. Si on connaît deux solutions linéairement indépendantes y₁ et y₂ de (h), donc sa solution générale y = a.y₁ + b.y₂ , on peut utiliser la méthode de la variation des constantes en posant y = a.y₁ + b.y₂ où a et b sont considérées cette fois comme des fonctions, ce qui conduit à un système de deux équations différentielles du 1er ordre en a' et b' en imposant la condition a'y'₁ + b'y'₂ = 0. Cette méthode se généralise à une équation différentielle d'ordre quelconque.

9. Connaissant une solution particulière y_o de (e), équation complète, on peut se ramener à une équation homogène du 1er ordre en posant y = ky_o et en considérant k comme variable, l'équation se réduisant alors à a(x)y_o.k" + [2a(x)y'_o + b(x)y_o].k' = 0 et on se ramène au 1er ordre en posant u = k'.

∗∗∗ 
Résoudre les équations différentielles :
1. y" + y' - 2y = sin x avec y(0) = y'(0) = 0            2. y" - y'/x = xe^x
Changement de variable :
3. Un phénomène est régi, pour x > 0, par l'équation du second ordre x²y" + axy' + by = f(x) où a et b sont des constantes. Montrer qu'en posant
u = ln x (logarithme népérien de x, on se ramène à une équation linéaire du second ordre à coefficients constants.☼
» Équation d'Euler
4. Résoudre l'équation (x - 1)(2x - 1)y'' + 2xy' - 2y = 0. On posera y = ux. Rép. : y = k₁x + k₂ + k₂x/(x - 1).   

∗∗∗ 
Autres exercices avec solutions :