ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Notions sur les nombres p-adiques» L'espace ultramétrique Qp des nombres p-adiques | valuation p-adique | valuation (cas général, polynômes) |
Si p est un entier naturel au moins égal à 2, tout entier naturel admet un unique développement selon les puissances décroissantes de p, de la forme :
L'écriture selon les puissances décroissantes de p se justifie par analogie avec notre système décimal (base 10) usuel, par exemple : 1861 = 1000 + 800 + 60 + 1 = 1 × 103 + 8 × 102 + 6 × 10 + 1
On parle alors de développement (ou d'écriture) en base p. Dans toute la suite p est désormais un entier naturel premier. Lorsque p = 2 (resp. 3), on parle de développement dyadique ou, parfois diadique (resp. triadique).
Les systèmes antiques et actuels de numération : »
Considérons donc l'entier naturel 1861, année de naissance de Hensel, et p = 3. En faisant les divisions euclidiennes successives des quotients par 3, on obtient :
| 1861 = 620 x 3 + 1 | 620 = 206 x 3 + 2 | 206 = 68 x 3 + 2 | 68 = 22 x 3 + 2 |
| 22 = 7 x 3 + 1 | 7 = 2 x 3 + 1 | 2 = 0 x 3 + 2 |
l'écriture en base 3 de 1821 s'écrit donc :
2 36 + 1 35 + 1 34 + 2 × 33 + 2 × 32 + 2 × 31 + 1 × 30 = 2 1 1 2 2 2 1base 3
Le développement 3-adique de l'entier 1861 est alors en quelque sorte "à l'envers" du précédent :
et traduit par ao, a1 a2 ...an, soit dans notre cas : 1 , 2 2 2 1 1 2
| Développement formel d'un nombre en série de puissances de p : |
Tout entier négatif (élément de Z) possède un développement formel en série (c.à.d. non convergent au sens usuel) selon les puissances de p :
soit :
Ainsi, avec p = 3 :
soit :
Ainsi, avec p = 3 :
| Mais tout cela est très formel. Où sont passées rigueur et unicité ? |
On sait que l'anneau Z/pZ des classes résiduelles modulo p possède p éléments que nous notons ici 0', 1', ..., (p-1)'. L'entier p étant premier, Z/pZ est un corps fini (commutatif).
Considérons pour toute puissance non nulle pn de p, l'anneau Z/pnZ.
On montre facilement par récurrence le résultat suivant : dans Z/pnZ, toute classe x' s'exprime de façon unique sous la forme :
où les ri sont éléments de {0', 1', ..., (p-1)'}
Si x est maintenant un entier relatif quelconque, il existe donc, pour tout entier naturel n non nul, des ri tels que :
|
|
et chaque ri , 0 ≤ ri < p, est alors défini par :
ro ≡ x [p] , r1p ≡ x - ro [p2] , r2p2 ≡ x - ro- r1p [p3] , ..., r3p3 ≡ x - ro- r1p - r2p2 [p4], ... Les développements p-adiques ainsi définis constituent l'ensemble Zp des entiers p-adiques.
| Qu'en est-il maintenant d'un nombre rationnel q = a/b ? |
En fait la relation encadrée ci-dessus est valable pour tout rationnel q = a/b tel que b ne soit pas multiple de p. La preuve par récurrence est là encore simple à mettre en œuvre en remarquant que la relation est vraie pour n = 1 car Z/pZ est un corps puisque p est premier : dire a/b ≡ ro [p] revient à résoudre l'équation a ≡ bro [p] d'inconnue ro dans le corps Z/pZ : la solution est unique.
2/5 ≡ ro [3] ⇔ 5ro ≡ 2 [3] ⇔ 2ro ≡ 2 [3] ⇔ ro = 1
und so weiter...
Lorsque l'on complète Q en lui "ajoutant" les limites de suites de nombres rationnels, on obtient, comme le fit Cantor avec les suites de Cauchy, l'ensemble R des nombres réels et on utilise la distance "usuelle" induite par la valeur absolue :
En munissant Q, non pas de la distance usuelle mais de la distance p-adique définie ci-après, on obtient un extension nouvelle de Q dans laquelle le développement en série entière évoqué ci-dessus est convergent :
| L'espace ultramétrique Qp des nombres p-adiques et la notion de valuation : |
Soit q = a/b un rationnel (a et b sont entiers premiers entre eux, b non nul) et p un entier naturel premier. Quitte à diviser b par p autant que nécessaire, on se ramène à b non multiple de p comme dit plus haut, et on peut écrire q sous la forme unique :
Le développement p-adique de q est alors celui de a/b' multiplié par p-n, donc de la forme :
On appelle valeur absolue p-adique de q le nombre :
La valuation de q est l'entier n et la distance p-adique est définie comme dans le cas usuel par :
Ostrowski prouva que, hormis la distance discrète, toute distance sur Q est (à une équivalence près) soit la distance usuelle fondée sur la valeur absolue, d(x,y) = | x - y |, soit la distance p-adique. Cette distance est ultramétrique, c'est à dire que :
Cette propriété, plus forte que l'inégalité triangulaire, d(x,y) ≤ d(x,y) + d(y,z) vérifiée par la distance usuelle dans Q, confère à Qp la structure d'espace ultramétrique dans lequel une série est convergente à la seule condition que son terme général tende vers 0. Un nombre p-adique se comporte ainsi à la manière d'une fonction développable en série entière. D'où des méthodes nouvelles applicables à l'arithmétique. Noter que Qp pas dénombrable. Équipotent à R, cet ensemble de nombres a la puissance du continu.
Structure de corps :
On peut définir dans Qp une addition et une multiplication prolongeant celles de Q et conférant à Qp une structure de corps commutatif, corps des fractions de Zp, tout comme Q est le corps des fractions de Z.
Corps des fractions d'un anneau d'intégrité : »
| Valuation sur un anneau, cas des polynômes : |
D'une façon générale, on appelle valuation sur un anneau (A,+,x) une application v de A dans [0,+∞] vérifiant :
- v(0) = +∞ (convention pratique)
- v(x x y) = v(x) + v(y)
- v(x + y) ≥ Min [v(x),v(y)]
Cas des polynômes :
Soit v l'application qui à tout polynôme P(x) = ao + a1x + ... anxn à coefficients dans A associe +∞ si P est le polynôme nul et, sinon, le plus petit indice des coefficients non nuls de P. On vérifie facilement que v est une valuation sur R[X], anneau des polynômes d'une variable réelle à coefficients réels.
➔ Pour en savoir plus :
,
Jean
Dieudonné et une équipe de mathématiciens