• Nom de la fonction : fonction exponentielle (de base e)

• Notation : Exp. La notation puissance e^x est due à Euler. On a l'équivalence :

  y = Exp(x)   y = e^x  (y exposant x) x = ln y

  C'est dire que la fonction Exp est la fonction réciproque de la fonction ln (logarithme népérien).

• Etymologie de l'appellation exponentielle : du latin exponer = exposer : placer à côté.
  Le terme est dû à Jacques (Jakob) Bernoulli.

• Ensemble de définition : R, image par réciprocité de R*₊ = ]0 , +∞[ par la fonction ln (logarithme népérien).

• Périodique : non.

• Fonction dérivée : (e^x)' = e^x. Fonction primitive : x → e^x

• Nom de la courbe associée : pas de nom spécifique (courbe exponentielle).

• Définitions possibles : celle de Jakob Bernoulli avec la condition (e^x)' = e^x : unique fonction coïncidant avec sa dérivée sur tout son ensemble de définition ou plus simplement, connaissant ln, compte tenu de l'équivalence déjà énoncée supra :

• Limites usuelles :

 ➔   On constate ci-dessous que si les courbes exponentielle et logarithmique sont tracées dans un même repère orthonormé, elles sont symétriques par rapport à la 1-ère bissectrice du repère d'équation y = x : c'est un résultat général pour deux courbes représentatives de deux fonctions réciproques l'une de l'autre.

Applications  :        

Elles sont extrêmement nombreuses, en symbiose avec la fonction logarithmique : eu égard à l'équivalence

y = ln x   x = e^y ,

tout phénomène logarithmique est lié à la fonction exponentielle (et réciproquement...). Citons comme domaine privilégié de ces fonctions : l'électricité et l'électronique, la radioactivité, les statistiques et le calcul des probabilités (loi normale), la thermodynamique, les phénomènes vibratoires de type oscillatoire amorti d'équations de la forme a.e^-ktcos(ωt + Φ), la cinétique des gaz, ...

Fonctions logarithmes et exponentielles de base a      a > 0, a distinct de 1

Lorsque le nombre a est positif, considérons les fonctions x → a^x pour x réel. Le cas trivial a = 1 est proscrit. Le nombre a est appelé base : il s'agit des fonctions exponentielles de base a. Si l'on parle de la fonction exponentielle (tout court), il s'agira de la fonction x → e^x, fonction exponentielle de base e.

Les logarithmes de base a, notés log_a furent définis par Euler par :

y = a^x ⇔ log_ay = x

On peut utiliser le logarithme népérien et l'exponentielle de base e pour "réexprimer" une fonction exponentielle de base a :

y = a^x ⇔ ln y = x.ln a  ⇔  y = e^{x.ln a}

Par suite, les études des fonctions exponentielle et logarithme de base a ( a > 0, a distinct de 1) peuvent se déduire facilement de celles de base e et on voit donc que les fonction les fonctions x → a^x sont strictement croissantes (resp. décroissantes) pour a > 1 (resp. a < 1).

∗∗∗
Résoudre l'équation 2^x+1 - 2^x-1 = 3√2. Rép. : x = 3/2
Étude d'une fonction (exponentielle de base 2) : y = x - 2^x-1

Neper, logarithmes de base a, logarithme décimal : »