Factoriser type ax + b et b + ax

ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Factoriser une forme ax ± b ou b ± ax niveau 5è
» Entraîne-toi ! , niveau 4è/3è : forme ax² ± bx , niveau 3è : forme (ax + b)(cx + d) ± (mx + n)(px + q)

Au collège, factoriser une expression algébrique est en quelque sorte le contraire de développer. La célèbre formule de distributivité de la multiplication sur (ou par rapport à) l'addition utilisée pour développer s'écrira ici :

Pour tous nombres a, b et c : a × b + a × c = a × (b + c)

On a appris, en classe de 5ème que dans les formules littérales (qui utilisent des lettres représentant des nombres), on peut supprimer le signe de multiplication : ab signifie le produit a × b, résultat de la multiplication de a par b. a et b sont les facteurs de ce produit (dans le cas d'une addition a + b, a et b sont les termes de cette addition, a + b en est la somme).

Avec cette convention, la propriété de distributivité devient :

ab + ac = a(b + c)

On dit qu'on a mis la quantité a en facteur. à gauche du signe égal, le nombre a est un facteur commun aux produits ab et ac ; à droite, on dit que le nombre a est en facteur . L'écriture a(b + c) est la forme factorisée de ab + ac.

! Dans la pratique, le facteur commun n'est pas toujours visible, il est souvent caché... :

visible : 2x - 2 = 2 × x - 2 × 1 = 2(x - 1)	caché : 12x - 6 = 6 × 2x - 6 × 1 = 6(2x - 1)	caché : 6x - 9 = 3 × 2x - 3 × 3 = 3(2x - 3)

Les formes ax ± b et b ± ax :

6x + 15 = 3 × 2x + 3 × 5
= 3 × (2x + 5)
= 3(2x + 5) : on a mis 3 × en facteur, puis on omet le signe de multiplication

Il faut savoir trouver un diviseur commun aux nombres a et b. Mieux : il faut trouver le plus grand afin de factoriser "au maximum".

Par exemple, il est vrai que 18x - 24 = 2(9x - 12).
Mais on voit que 9 et 12 sont divisibles par 3 : on peut donc « sortir un 3 », ce qui fait une factorisation par 2 × 3 = 6. La réponse ici est donc 18x - 24 = 6(3x - 4) et il faut s'entraîner à faire le calcul « en 1 coup » !

7 - 21x est plus difficile à factoriser, certains élèves oublient que tout nombre N peut s'écrire N x 1. En plus, ici, on ne commence pas par des x : au collège on n'aime pas...
7 - 21x = 7 × 1 - 7 × 3x
= 7 × (1 - 3x) = 7(1 - 3x) » on peut aussi répondre 7(-3x + 1)

Et maintenant, entraîne-toi ! L'ordinateur te posera 10 calculs et te donnera son avis... :

! Dans ta réponse, ne pas mettre d'espaces entre les signes et les nombres !
» tape 20x-30 et surtout pas 20x - 30
La factorisation doit être maximale comme expliquée ci-dessus.
Tu peux obtenir la réponse sans écrire la tienne : cliquez sur OK, mais tu n'auras pas une bonne note...

Factoriser une forme ax² ± bx : ››››