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Apprendre à construire : constructions de triangles #8     niveau 2nde | TD 4è/3è       » #1 à 4 , #5 , #6 , #7, #9 , #10         » Variante :  niveau 1ère/Ter

Construire un triangle ABC dont on a donné au préalable :

1. le sommet A;
2. le centre de gravité G (point de concours des médianes);
3. la hauteur issue de A, demi-droite [Ah).

Rédiger le programme de construction.

On rappelle ou on admettra que : dans un triangle, les médianes sont les droites passant par un sommet et le milieu du côtés opposé. En fait, on les assimile souvent à un segment (comme [AA'] ci-dessus à droite). Elles sont concourantes en un point G (centre de gravité du triangle) situé au tiers de chaque médiane à partir de leur « pied » qui sont les milieux des côtés du triangle : on a donc par exemple AG = 2GA'.

Analyse :    

Si M est le milieu du côté BC, on sait que AG = 2GM. Si I désigne le milieu de [AG], alors AM = 3AI. On peut ainsi obtenir M. B et C se trouveront sur la perpendiculaire à (Ah) passant par M. D'où la construction :

Construction :    

1. Tracer la demi-droite [AG);
2. Placer le milieu I de [AG];
3. Placer le symétrique M de I par rapport à G : c'est le pied de la médiane issue de A;
4. Tracer la perpendiculaire (p) à [Ah) passant par M : c'est la droite portant les sommets B et C.
5. Soit B un point quelconque de (p); Placer le symétrique C de B par rapport à M
    

Synthèse :    

Le point B (ou C) étant choisi arbitrairement, le problème admet une infinité de solutions pour autant que la droite (BM) soit perpendiculaire à la droite (Ah).

 ➔   Toute construction doit être conduite par analyse et synthèse. L'analyse est le raisonnement aboutissant à la construction cherchée. Mais le processus d'analyse procède par implication : si ABC existe (on suppose la construction aboutie) alors on a nécessairement (forcément en langage élève) ceci ou cela, donc on va faire ceci ou cela. La synthèse consiste à vérifier que ces conditions nécessaires aboutissant à la construction sont aussi suffisantes, c'est à dire que cette construction vérifie bien toutes les hypothèses de l'énoncé.