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Centre de gravité du triangle      TD 3ème/2nde     » Archimède

Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé. Un triangle a donc trois médianes et ces droites sont concourantes en un point appelé centre de gravité car c'est le point d'équilibre du triangle (isobarycentre).

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Vous pouvez déformer le triangle ABC en déplaçant les points A, B et C

On se propose de montrer ici que dans un triangle ABC :

1. Le centre de gravité G, point de concours des médianes, se situe au tiers des médianes à partir de leur « pied ». En conséquence, elles sont concourantes.
    

2. On a la relation vectorielle :

équivalente, au moyen de la formule de Chasles à :

C'est dire que si l'on a A(a,a'), B(b,b') et C(c,c') dans un repère du plan, alors :

x_G = (a+b+c)/3, y_G = (a'+b'+c')/3

3. Pour tout point M du plan, le centre de gravité G du triangle ABC est l'unique point minimisant MA² + MB² + MC², somme des carrés des distances de M aux sommets du triangle.

Si tu sèches après avoir bien cherché : »

♦  Le 1er résultat se démontre facilement en classe de 4ème. Preuve partiellement développée :

• Soit G l'intersection de deux médianes, par exemple celles issues de A et de B, de pieds respectifs A' et B';

• Notons G' le symétrique de G par rapport à A';
• Le quadrilatère BGCG' est un parallélogramme;
• Donc (BB') / /(G'C);
• Dans le triangle ACG', (GB') passe par le milieu de [AC] et (GB') // (G'C);
• G est donc le milieu de [AG'];
• Par suite GA est le double de GA' : GA = 2GA'.

♦   Le 2ème résultat se démontre facilement en classe de 3ème. Preuve partiellement développée :

• Le quadrilatère BGCG' est un parallélogramme, par suite :

• G est le milieu de [AG'], par suite :

D'où le résultat annoncé.

♦   Le 3ème résultat est basé sur le produit scalaire (classe de 1ère) :

• On peut écrire

En développant ces carrés scalaires, on obtient :

Or selon le second résultat, la parenthèse est nulle. La somme MA² + MB² + MC² sera donc minimale si et seulement si GM est nul, c'est à dire si et seulement si M est en G.