ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 FRAENKEL (FRÄNKEL) Adolf Abraham,
israélien, 1891-1965 |
D'origine allemande
(né à Munich), Fraenkel fit ses études en sa ville natale puis à Berlin et à
Marburg où il suivit les cours de Hensel et enseignera
dès 1922.
Il quitte l'Allemagne pour la Palestine en 1928 (la région est sous mandat anglais, l'état d'Israël ne sera créé qu'en 1947) et sera professeur en la toute jeune université hébraïque de Jérusalem (fondée en 1925).
Le nom de ce mathématicien évoque les fameux axiomes de construction axiomatique des ensembles initiée par Zermelo, pour un fondement cohérent de la logique mathématique : huit axiomes de Zermelo-Fraenkel, dits ZF (ZFC si on leur adjoint l'axiome du choix) suite à la théorie des ensembles de Cantor présentant des paradoxes liés à la notion d'appartenance.
» Frege , Russel , Bernays , Church , ...
Sans doute influencé par les travaux de son professeur Hensel sur les structures algébriques, il semble être le premier à avoir donné une définition axiomatique de la structure d'anneau (1914) évoquée par Hilbert dans son Zahlbericht.
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Les axiomes ZF / ZFC de la théorie des ensembles : |
1. axiome d'extension : Si tout élément de X est un élément de Y et inversement, alors X = Y.
2. axiome des ensembles élémentaires : l'ensemble vide existe, il n'a aucun élément, son cardinal est noté 0; si x est un objet, {x} est un ensemble appelé singleton (single = seul), son cardinal est 1. Si x et y sont des objets distincts, {x,y} est un ensemble appelé paire, son cardinal est 2.
3. axiome de la réunion : les éléments d'un ensemble d'ensembles forment un ensemble (réunion).
4. axiome des parties : la collection dont les éléments sont tous les sous-ensembles d'un ensemble E est un ensemble.
5. axiome de l'infini : il existe au moins un ensemble X contenant l'ensemble vide et tel que si x∈X, alors {x}∈X.
6. axiome de séparation : si P(x) est une proposition définie dans un ensemble E, alors M contient une partie F d'éléments x pour laquelle P(x) est vraie (F est éventuellement vide).
7. axiome de régularité : Pour tout ensemble non vide X, il existe un ensemble Y, élément de X tel qu'aucun élément de X ne soit élément de Y.
9. axiome du choix : pour toute classe d'ensembles non vides et disjoints, il existe un algorithme (fonction de choix) permettant d'extraire un élément et un seul dans chaque ensemble afin de constituer un nouvel ensemble.
En savoir un peu plus sur les axiomes ZF : » Zermelo et l'axiome du choix : »
Vinogradov