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 Théorie des ensembles : les axiomes de
Zermelo-Fraenkel |
Les axiomes de Zermelo et son célèbre axiome du choix (Études sur les fondements de la théorie des ensembles,1904) sont nés des difficultés rencontrées dans l'étude de la relation d'ordre (comparaison) des cardinaux des ensembles infinis (en particulier, existence d'un bon ordre).
L'objectif principal est d'éliminer les aberrations liées à la notion intuitive d'ensemble et d'appartenance. Un ensemble E reste, comme pour Cantor, une collection d'objets caractérisés par une propriété discriminante : un objet x sera élément de l'ensemble E si et seulement si une relation R(x) est vraie.
Par exemple, si nous supposons l'ensemble des entiers naturels N bien défini (axiome !, car cela n'est pas vraiment évident...), la relation R définie dans N par x se termine par 0 ou 5 définira l'ensemble M5 les multiples de 5 : M5 = {x / x∈N et R(x)}
Mais les axiomes suivants en précisent le sens :
1. axiome d'extension
: Si tout élément de X est un
élément de Y et inversement, alors X = Y.
2. axiome des ensembles
élémentaires : l'ensemble
vide existe, il n'a aucun élément, son
cardinal est noté 0; si x est un objet, {x} est un ensemble
appelé singleton (single = seul), son cardinal est
1. Si x et y sont des objets distincts, {x,y} est un ensemble
appelé paire, son cardinal est 2.
3. axiome de la
réunion : les
éléments d'un ensemble d'ensembles forment un
ensemble (réunion).
4. axiome des parties :
la collection dont les
éléments sont tous les sous-ensembles d'un ensemble
E est un ensemble.
5. axiome de l'infini :
il existe au moins un ensemble X contenant l'ensemble
vide et tel que si x∈X,
alors {x}∈X.
On
peut concevoir N ainsi. On se donne l'élément
0 (jouant le rôle de l'ensemble vide; on pose 1 = {0}, puis 2 = {0,1}, 3 = {0,1,2}, ...
Construction de N selon Von Neumann : »
6. axiome de séparation
(aussi appelé des
sous-ensembles) :
si P(x) est une proposition définie
dans un ensemble E, alors M contient une partie F
d'éléments x pour laquelle P(x) est vraie (F est
éventuellement vide).
7. axiome de
régularité (aussi
appelé de
fondation)
: Pour tout ensemble non vide X, il existe
un ensemble Y, élément de X tel qu'aucun
élément de X ne soit élément de Y.
Cet axiome élimine la possibilité d'avoir X
élément de lui-même, source du paradoxe de
Russell.
9. axiome du choix : pour toute classe d'ensembles non vides et disjoints, il existe un algorithme (fonction de choix) permettant d'extraire un élément et un seul dans chaque ensemble afin de constituer un nouvel ensemble.
En savoir un peu plus sur l'axiome du choix : »
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Terminologie : |
La théorie des ensembles basée sur les axiomes 1 à 7 est dite de Zermelo (Z).
Complétée par l'axiome 8, on parle de la théorie Zermelo-Fraenkel, dite ZF.
Si on lui adjoint l'axiome du choix (axiome 9), elle est dite ZFC (C comme choix).
Enfin, la théorie des ensembles, liée à la notion de classe où un ensemble apparaît comme élément d'une classe définie également axiomatiquement est dite NBG pour signifier von Neumann, Bernays et Gödel.
➔ Pour en savoir plus :