ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

CARMICHAEL Robert Daniel, américain, 1879-1967

Source portrait/éléments biographiques : Mathematical Association of America (MAA)

Physicien au début de sa carrière (il étudia la théorie de la relativité initiée par Albert Einstein en 1905), philosophe et mathématicien, Robert Carmichael obtint son doctorat (1911) à l'université de Princeton portant sur les solutions analytiques d'équations aux différences sous la houlette de George Birkhoff, un sujet de physique mathématique portant sur une méthode de discrétisation des équations aux dérivées partielles (» réf.1). Après trois ans d'enseignement à l'université de l'Indiana, Carmichael obtint un poste à l'université de l'Illinois qu'il conserva jusqu'à sa retraite en 1947.

Il se consacra tout particulièrement, dès les années 1910, à la théorie des nombres, nombres premiers en particulier, l'analyse diophantienne (étude des équations en nombres entiers), ainsi qu'à la théorie des groupes. Entre autres publications universitaires, on luit doit The Theory of Relativity (1913, » réf.8) qu'il complète et réédite en 1920, The Theory of Numbers  (1914, » réf.9) et Diophantine Analysis (1915, » réf.10 , Diophante).

Nombres de Carmichael :

Le  "petit" théorème de Fermat (en anglais Fermat's simple theorem) stipule que :

si n est un nombre premier, alors pour tout entier a : an ≡ a [n]

En 1910, faisant suite à des recherches du mathématicien allemand Alwin Korselt dans le cadre de l'étude des nombres premiers et de leur distribution dans l'ensemble des entiers naturels, Carmichael s'intéresse aux entiers non premiers n vérifiant an ≡ a [n] pour tout entier a. Si l'ensemble de tels nombres est vide, alors la réciproque du petit théorème serait vraie.

 i   Alwin Reinhold Korselt, mathématicien allemand (1864-1947) qui étudia les mathématiques à Leipzig. Sa thèse (1902), dirigée par Otto Hölder et Carl Neumann, porte sur le problème géométrique de la division angulaire (dont, par exemple, la trisection fait partie). Il s'intéressa ensuite plus particulièrement aux fondements des mathématiques (axiomatique et logique) qui étaient, à l'époque de la théorie des ensembles de Cantor et des contradictions qu'elle engendra, le sujet fondamental : » Zermelo , Russel.

En 1899, Korselt avait établi un résultat remarquable :

Critère (ou théorème) de Korselt :     

L'entier n, non premier, divise an - a pour tout a si et seulement si la décomposition primaire de n
ne contient aucun facteur carré et, pour tout entier premier p divisant n,  p - 1 divise n - 1.

Preuve : on en trouvera une simple et élégante sur le site agreg-maths (réf.4). Par aucun facteur carré, on entend que si p est un diviseur premier de n, alors p2 ne divise pas n; autrement dit, dans la décomposition de n en facteurs premiers, chaque facteur à pour exposant 1.

Korselt ne fournit pas d'exemple concret illustrant son théorème, c'est Carmichael qui le fera 11 ans plus tard en découvrant 561 = 3 × 11 × 17, confirmant ainsi au passage la fausseté de la réciproque du "petit" théorème de Fermat.

C'est alors que Carmichael recherche et étudie alors les propriétés de tels nombres qui portent aujourd'hui son nom :

Un entier naturel n non premier est un nombre de Carmichael tel que
pour tout entier a, 1 < a < n , a et n sont premiers entre eux et an ≡ a [n]

Ce sont donc des entiers naturels pseudo-premiers pour toute base a, raison pour laquelle ils sont également appelés nombres absolument pseudo-premiers ou bien nombres pseudo-premiers absolus.

 ➔   Pourquoi se restreint-on à a < n dans la définition ci-dessus ?    

Prolonger la définition à une base a ≥ n n'a pas d'intérêt. En effet, si a = n, l'égalité nn ≡ n [n] n'a évidemment pas lieu et si a > n, on peut écrire a = nq + r  avec 0 < r < n (division euclidienne). La base a vérifie donc a ≡ r [n] et on est ramené à rechercher n tel que rn ≡ r [n] avec r < n.

∗∗∗
En raisonnant "par l'absurde" :
Montrer au seul moyen de la définition ci-dessus qu'un nombre de Carmichael est sans facteur carré ☼

Corollaire :    

Tout nombre de Carmichael est impair et produit d'au moins trois nombres premiers

Quelques propriétés relatives aux nombres de Carmichael :

♦ L'entier n, non premier, est un nombre de Carmichael si et seulement si :

Pour tout entier a tel que 1 < a < n , a et n sont premiers entre eux et an-1 ≡ 1  [n]

ou encore, sans allusion aux congruences :

Pour tout entier a tel que 1 < a < n , a et n sont premiers entre eux et an et a ont même reste
dans la division euclidienne par n

Ces nombres sont "peu nombreux", c'est un euphémisme ! C'est dire que leur recherche peut prendre un certain temps, même au moyen de l'ordinateur et même au moyen des congruences de Gauss permettent de réduire l'immensité des entiers du type an... Les premiers sont les suivants :

561, 1105, 1729, 2465, 2821, 6601, 8911, 10585, 15841, 29341, 41041, 46657, 52633, ...

Nombres puissants : »

♦ Rappelons au passage ce théorème de Lucas (par commodité, = signifie ici congru) : 

Si a et n premiers entre eux tels que an-1 = 1 [n] et a(n-1)/p ≠ 1 [n] pour tout diviseur
premier p de n - 1, alors n est premier.

♦ Conjecture de Carmichael :    

Dans une publication de AMM, American Mathematical Monthly, intitulé On composite numbers p which satisfy the Fermat congruence ap-1 ≡ 1 mod. p, (1912), Carmichael énonce :

Il existe une infinité de nombres absolument pseudo-premiers.

Il en apporte une preuve en 1914 dans sa Théorie des nombres qui s'avère fausse. Cette conjecture fit aussi l'objet des nombreuses conjectures arithmétiques émises par Erdös (1956). Elle fut prouvée récemment (1994) par les mathématiciens américains William R. Alford (1937-2003) et Carl B. Pomerance (1944-), et l'anglais Andrew J. Granville (1962-). Cette preuve est en ligne (» réf.6en anglais).

Autre conjecture de Carmichael :  

Toute valeur prise par l'indicateur d'Euler (fonction φ) est prise au moins deux fois.

Rappelons que l'indicateur d'Euler φ est l'application qui à tout entier naturel n non nul associe le nombre d'entiers naturels inférieurs à n et premiers avec n. Cette conjecture reste encore aujourd'hui (janvier 2018) un problème ouvert. Si un contre-exemple existe, il a été prouvé que cela ne peut se produire que pour de très grandes valeurs de n. 

 ➔   En relation avec φ et les nombres absolument pseudo-premiers, on a ce résultat intéressant :

Si n est un entier naturel non premier pour lequel φ(n) divise n - 1, alors n est un nombre de Carmichael.

Recherche de nombres de Carmichael :  »              Recherche de nombres pseudo-premiers :  »

Théorème de J. Chernick (1939, Bulletin de l'AMS, Vol. 45, » réf.6) :    

Si les entiers p, q, et r sont des entiers premiers respectivement de la forme
6n + 1, 12n + 1 et 18n + 1, alors le produit pqr est un nombre de Carmichael.

Tout nombre premier étant de la forme 6n ± 1, il revient au même de dire :

Si les entiers n, 2n - 1 et 3n - 2 sont des entiers premiers alors leur produit est un nombre de Carmichael.

Nombres premiers et forme 6n ± 1 :  »

 ➔  Pour en savoir plus :

  1. Équations aux différences :
    -  http://www.ufrmeca.univ-lyon1.fr/~buffat/COURS/COURSDF_HTML/introduction.html, par Marc Buffat (Univ. Lyon1)
    -  http://www.ulb.ac.be/di/map/gbonte/modsim/equa-diff.pdf , par Gianluca Bontempi (ULB)
  2. Le site de l'OEIS, Online Encyclopedia of Integer Sequences : http://oeis.org/
    et plus précisément (en entrant carmichael) : http://oeis.org/search?q=carmichael&language=french
  3. Le site de Gérard Villemin : http://villemin.gerard.free.fr/ThNbDemo/Carmicha.htm
  4. Preuve du critère de Korselt sur agreg-maths.fr :
     https://agreg-maths.fr/uploads/versions/131/NombresCarmichael_lucas.pdf
  5. There are infinitely many Carmichael numbers (Dartmouth university) par W. R. Alford, A. Granville et C. Pomerance :
     http://www.math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper95.pdf
  6. On Fermat's simple theorem par J. Chernick, sur le site de l'AMS :
    http://www.ams.org/journals/bull/1939-45-04/S0002-9904-1939-06953-X/S0002-9904...pdf
  7. American Mathematical Monthly : http://www.maa.org/pubs/monthly.html  
    Trois traités de Carmichael numérisés sur archive.org :
  8. The Theory of Relativity : https://archive.org/details/theoryofrelativi00carmuoft
  9. The Theory of numbers : https://archive.org/stream/cu31924063439008#page/n7/mode/2up
  10. Diophantine Analysis : https://archive.org/details/diophantineanaly00carm
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