ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Matrices & changement de base     » Diagonalisation | Triangulation | Exercices

Cette page suppose connues les notions d'application linéaire, de matrice d'application linéaire, de déterminant, de valeur propre et de vecteur propre :

 ➔  La résolution de systèmes d'équations linéaires algébriques ou différentiels, l'étude de suites récurrentes et d'une façon générale tout sujet d'étude se résumant à une équation du type AX = B, peut être grandement facilité si l'on peut exprimer le problème dans une base (changement de coordonnées) où la matrice A du système considéré prend une expression simplifiée : le plus possible de zéros.

Soit E un espace vectoriel de dimension n sur le corps K = R ou C (nombres réels ou complexes). On note B = (e₁, e₂, ..., e_n) et B' = (e'₁, e'₂, ..., e'_n) deux bases de E.

Il s'agit, connaissant les coordonnées x₁, x₂, ..., x_n d'un vecteur u relativement à B, d'exprimer ses coordonnées x'₁, x'₂, ..., x'_n relativement à B' et inversement. Chaque vecteur e'_j s'exprime de façon unique dans la base B sous la forme :

On a alors :

On identifie cette dernière égalité à :

Ce qui fournit, selon la multiplication d'une matrice par un vecteur colonne :

La matrice :

est appelée matrice de passage de B à B'.

 !  Cette appellation est regrettable car elle devrait exprimer le contraire puisqu'on exprime ci-dessus les anciennes coordonnées en fonction des nouvelles : on obtient les anciennes coordonnées x_i de u dans la base B en fonction des nouvelles coordonnées x'_i dans la base B'. La matrice P est inversible puisque ses colonnes représentent les vecteurs de la base B' écrits dans la base B. Avec la notation matricielle, on a donc :

D'où, x = x' - 2y' , y = 3x' + y' et, inversement : x' = (x + 2y)/7 , y' = (-3x + y)/7

 ➔  Lorsque P est orthogonale, le calcul de P^-1 s'en trouve grandement facilité : dans ces condition P^-1 = ^tP (transposée de P) :

Calcul pratique d'une matrice inverse : »       » Hermite

Si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel E de dimension n sur le corps K = R ou C, notons M_/B sa matrice relativement à B = (e₁, e₂, ..., e_n) et si X_/B = (x₁, x₂, ..., x_n), posons Y = f(X). En passant à la base B' = (e'₁, e'₂, ..., e'_n), on peut écrire sous forme matricielle, en notant P la matrice de passage :

X_/B = PX_/B' , Y_/B = PY_/B' , Y = M_/BX. Par suite : PY_B' = (M_/B x P)X_/B' et en multipliant par P^-1 : Y_B' = (P^-1 x M_/B x P)X_/B' . Ce qui montre que la matrice de f, relativement à B', est :

On dit que les matrices M_/B' et M_/B sont semblables. D'une façon générale, deux matrices M et N sont dites semblables s'il existe une matrice inversible P telle que N = P^-1 x M x P.

∗∗∗
Vérifier que la relation "est semblable à " est une relation d'équivalence dans l'ensemble M_n des matrices carrées d'ordre n.

Trace d'une matrice et d'un endomorphisme :    

On appelle ainsi la somme des éléments diagonaux d'une matrice et on note Tr(A) = Σa_ii la trace de la matrice A = (a_ij). La trace jouit de remarquables propriétés algébriques.

1. C'est une forme linéaire : Tr(A + B) = Tr(A) + Tr(B) et Tr(αA) = αTr(A).

2. La trace est invariante par transposition : Tr(^tA) = Tr(A).
   En particulier si A est orthogonale, Tr(A^-1) = Tr(A).

3. Tr(A × B) = Tr(A) × Tr(B).

4. Deux matrices semblables ont même trace : Tr(P^-1 × A × P) = Tr(A × P^-1 × P) = Tr(A × I) = Tr(A).

Preuve du point 3 : notons p_ij = Σ_k(a_ikb_kj), Σ_k désignant une somme par rapport à k, et q_ij = Σ_k(b_ika_kj) les termes généraux des matrices A × B et B × A. Tr(A × B) = Σ_ip_ii = Σ_i(Σ_ka_ikb_ki)_. Mais on peut intervertir l'ordre de sommation Σp_ii = Σ_k (Σ_ia_ikb_ki) = Σ_k(Σ_ib_kia_ik) =  Σ_kq_kk = Tr(B × A).

Le résultat 4 permet de définir la trace d'un endomorphisme φ de E : c'est la trace de la matrice de φ dans une base quelconque de E (indépendance par rapport à la base utilisée). On a alors en particulier :

1. Tr(φ1 + φ2) = Tr(φ1) + Tr(φ2) et Tr(αφ) = αTr(φ1).

2. Tr(φ1 o φ2) = Tr(φ2 o φ1) = Tr(φ1) × Tr(φ2)

On dit qu'une matrice A = (a_ij) est diagonale pour exprimer que les seuls éléments non nuls de A sont ceux de même rang en ligne et en colonne, à savoir les a_ii (pour tout i ≠ j, aij = 0). Si, par un changement de base, une matrice s'avère diagonale, on dit qu'elle a été diagonalisée.

Théorème : 

Lorsque E est de dimension finie n, si f est un endomorphisme admettant n valeurs propres distinctes, de vecteurs propres associés v₁, v₂, ..., v_n , alors ceux-ci constituent une base de E et relativement à cette base (v₁, v₂, ..., v_n) la matrice de f prend la forme diagonale :

Remarques :    

• Deux matrices semblables ont même déterminant :

• Si une matrice M est diagonalisée, alors det M = λ₁ × λ₂  ×  ...  ×  λ_n et la trace est  λ₁ + λ₂ + ... + λ_n.

Mais qu'en est-il lorsque f possède des valeurs propres multiples ? la diagonalisation est possible dans certains cas :

Théorème 1 :     

Si le polynôme caractéristique de la matrice est n × n est scindé (il admet n valeurs propres distinctes ou non) et si la dimension du sous-espace vectoriel engendré par chaque valeur propre égale son ordre de multiplicité, alors la matrice est diagonalisable.

Théorème 2 :     

Toute matrice symétrique (c'est à dire lorsque a_ij = a_ji pour tout i et j) est diagonalisable au moyen d'une matrice de passage orthogonale (les vecteurs-colonnes constituent une base orthonormée, » Hermite).

∗∗∗  
Exercice 2 sur cette page , Étude d'une matrice de Markov

Si une matrice n'est pas diagonalisable, on peut chercher à obtenir une matrice triangulaire,  c'est à dire une matrice de la forme :

ce qui est toujours possible lorsque K = C. On parle de matrice triangulable (ou trigonalisable) et de triangulation. La matrice ci-dessus est, plus précisément triangulaire supérieure, car les éléments éventuellement non nuls sont situés au-dessus des éléments diagonaux δ₁, δ₂, ..., δ_n. Dans le cas contraire, on parle de matrice triangulaire inférieure.

Réduite de Gauss : »

 ➔  Indépendamment de tout endomorphisme, on peut manipuler une matrice en tant qu'opérateur sur des vecteurs colonnes, Par exemple, si on écrit, relativement à une base B = (i,j) :

cela signifie que M × i = 2i + j et  M × j = i - j  :

              » matrice colonne

Théorème de Jordan :    

Lorsque K = C, toute matrice carrée peut se mettre, au moyen d'un changement de base approprié, sous la forme :

où les blocs Δ₁, Δ₂, ... Δ_n sont des matrices carrées dont les termes δ_i,i de la diagonale principale sont égaux, les autres termes étant nuls à l'exception de δ_i,i+1 = 1 (blocs de Jordan). Si K = R, cette forme peut être obtenue pour une matrice n x n par recherche de ses valeurs propres si celle-ci admet n valeurs propres éventuellement multiples.

On parle de diagonalisation par blocs ou, parfois, de jordanisation d'une matrice, fort utile dans la résolution d'équations différentielles linéaires ainsi que dans celle de systèmes de suites récurrentes linéaires.

 ➔  Pour plus de théorie, on pourra consulter le lien proposé en fin de page consacrée à Jordan                       

∗∗∗
Systèmes différentiels linéaires : d'ordre 2 (valeurs propres réelles) , d'ordre 3 (valeurs propres complexes)

∗∗∗
1. E est de dimension 2 sur R; B = (i,j) est une base de E; f est l'endomorphisme dont la matrice relativement à B est :

• i/ Montrer que les valeurs propres de f sont 2 et -5 et qu'une base de vecteurs propres est B' = (u,v) avec :

       (matrice de changement de base)

• ii/ Calculer P^-1.
• iii/ Vérifier, en calculant P^-1MP, que la matrice de f, relativement à B', est effectivement comme on doit s'y attendre :

• 4i/ Calculer D² = D × D, D³ = D × D × D, Dⁿ pour tout entier naturel n > 1.
• 5i/ Calculer (P^-1MP)² , (P^-1MP)³, (P^-1MP)ⁿ pour tout entier naturel n > 1.
• 5i/ Déduire des calculs précédents l'expression de Mⁿ en fonction de 2ⁿ et de 5ⁿ.  

∗∗∗
2. On considère la matrice :

Ses colonnes s'identifient à la matrice d'un endomorphisme f d'un espace vectoriel réel E de dimension 3, relativement à une base B = (i, j, k)

• i/ Montrer que le polynôme caractéristique de M est P(λ) = -(λ - 1)²(λ + 2).
• ii/ Montrer que le sous-espace vectoriel associé à la valeur propre double λ = 1 est le plan vectoriel dont une équation est x + y - z = 0. Donner alors deux vecteurs propres linéairement indépendants u et v associés à la valeur propre λ = 1.
• iii/ Montrer que le sous-espace vectoriel associé à la valeur propre λ = -2 est une droite vectorielle dont on vérifiera que w = i +j - k est un vecteur directeur. Vérifier que B' = (u, v, w) est une base de E.
• 4i/ Justifier, sans calculs, que la matrice de f relativement à B' est la matrice diagonale :

et vérifier ce résultat en appliquant la formule de changement de base M' = P^-1MP où P est la matrice de passage de B à B' en calculant au préalable la matrice inverse P^-1.

 ➔  on voit donc, sur cet exemple, qu'une matrice dont les valeurs propres sont multiples peut être diagonalisée. Mais ce n'est pas toujours possible.

∗∗∗
3. E est de dimension 3 sur R; B = (i,j,k) est une base de E; relativement à B une matrice M s'écrit :

 
» Exemple emprunté à G. Lefort dans son livre d'exercices (1964) illustrant avec brio le cours de MM. Pisot & Zamansky.

• i/ Montrer que 2 est valeur propre de M; vérifier alors, par factorisation du polynôme caractéristique, que M admet 4 comme valeur propre double.
• ii/ Montrer que B' = (u, v, k) est une base de E, u(1, 1, 1) et v(1, -1, 1) étant vecteurs propres de M respectivement associés aux valeurs propres 2 et 4.
  » le sous-espace propre associé à la valeur propre double 4 n'étant pas de dimension 2, M n'est pas diagonalisable.
• iii/ Exprimer M x k dans la base B', en déduire que :

• 4i/ M_/B' est triangulaire inférieure. On pose w = a.u + b.v + c.k où a, b et c sont réels et c ≠ 0. Montrer que l'on peut trouver a, b et c afin d'obtenir, relativement à B" = (u, v, w)  :

 Rép. : On écrit que M_/B'w, doit être de la forme α.u + β.v + γ.w = (α + γa).u + (β + γb).v + γc.k) ce qui conduit au système :
 2a - 2c = α + γa ; 4b - 3c = β + γb ; 4c = γc. On a donc γ = 4 car c est non nul, b s'élimine et le système se réduit à  α = -2(a + c),  β = -3c.
 Il est alors loisible de choisir b = 0; c = -1/3, a = -c. On a alors finalement a = 1/3, b = 0, c = -1/3, α = 0, β = 1, γ = 4.
D'où w(1/3,0,-1/3) relativement à B = (i,j,k) et relativement à cette base B"= (u, v, w), la 3è colonne de M est [α , β , γ ] = [0, 1, 4].
 

---

4. Soit M une matrice réelle 3 × 3 telle que M² non nulle mais M³ nulle. Montrer que M est triangulable.
» par hypothèse, il existe u non nul tel que M²u ≠ 0. Montrer que (u,Mu,M²u) est une base de R³...

∗∗∗
5. On se propose de trianguler la matrice M ci-dessous écrite dans une B = (i,j,k) de E.

i/ Dans quelle base simple M est-elle triangulaire ?

Au vu de la matrice M, si la ligne 3 "passe" en première ligne, c'est à dire si l'on passe de la base B = (i,j,k) à la base B' = (k,i,j), la matrice relativement à B' est triangulaire (inférieure) :

 ➔  M_/B et M_/B' ne sont pas semblables, au sens de l'algèbre des matrices. On constate d'ailleurs que la trace de M/_B' égale 4 alors que celle de M_/B est nulle (deux matrices semblables ont même trace).

ii/ Calculer les valeurs propres de la matrice M_/B en calculant les racines (valeurs propres) de son polynôme caractéristique .
Rép. : det(M - λI) = -(λ³ - 3λ - 2); λ₁ = -1 (double) et λ₂ = 2.

iii/ Montrer que l'on peut choisir u = -i + j - k, v = i + 2j + 4k, w = j comme base de E où u et v sont des vecteurs propres de M, et que si P est la matrice de passage relative à cette base, on a :

» On voit, là encore (cf. exo3) que la réduction d'une matrice à la forme triangulaire n'est pas unique. Elle dépend de la base choisie. Lorsqu'il est possible de jouer sur des permutations de lignes (ce qui revient à permuter les vecteurs de base correspondants), il ne faut pas hésiter à moins que des contraintes liées au sujet traité n'interdise cet artifice.