ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Tubes en pyramide...           niveau 6è à 3è  »  Pyramide 2D  |  Pyramide de boules

Un entrepreneur fait livrer une grosse quantité de tubes PVC de diamètre d = 12 cm qu'il fait empiler en pyramide. La base est formée de 50 tubes bien serrés les uns aux autres (ils sont tangents). L'image ci-dessous, obtenue à partir de rouleaux de papier-toilettes, vous fait comprendre la méthode pour une base de 7 tuyaux... :

• 1°/ niv. 6è-5è : Combien de tubes pourront être empilés ?

• 2°/ niv. 4è-3è : Quelle est la hauteur h de la "pyramide" complète ?

• 1°/  A chaque étage de l'empilement, un tuyau repose sur deux tuyaux de l'étage sous-jacent. Partant de la base, on perd un tuyau par étage. Il y a donc 50 + 49 + 48 + ... + 3 + 2 + 1 tubes. Il s'agit donc de calculer la somme des 50 premiers entiers naturels
  
   ➔  On peut écrire la somme en sens inverse 50 + 49 + ... 3 + 2 + 1 :

1   +   2 +  3  + ... + 48 + 49 + 50
50 + 49 + 48 + ...  + 3  +  2  +  1

 On constate alors que le double de la somme cherchée est 50 fois 51. Le nombre de tubes est donc 25 × 51 = 1275.

• 2°/  En considérant les lignes des centres des tubes extrêmes, la pyramide engendre un triangle équilatéral de côté 48 diamètres d augmenté de 2 rayons, soit 49 diamètres. A la hauteur de ce triangle, il faut rajouter deux rayons pour obtenir la hauteur de la pyramide, soit 1 diamètre :

h = d + 49 d × sin(60°) = d + 49d√(3)/2

Soit h ≅ 5,21 m.