ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Dérivées partielles & extremum #2    niveau sup     » Voir : #1 , #3  |  Volume maximal | extremums de f(x,y) = x3 + y4 - yx2 - xy2  (méthode de Hesse)

Étant donné un triangle ABC et un point M du plan, la géométrie élémentaire nous apprend que le centre de gravité G du triangle est l'unique point du plan minimisant la somme des carrés des distances de M aux sommets du triangle. Autrement dit :

la somme MA² + MB² + MC² est minimale si et seulement si M = G

On se place dans un repère euclidien et on pose A(a,a'), B(b,b'), C(c,c') et M(x,y). En écrivant cette somme sous la forme d'une fonction de R² dans R, retrouver que G est la solution minimale en étudiant les points critiques de f.

Preuve géométrique élémentaire :  ››››              »  fonction scalaire de Leibniz

Rappel :   

Soit f une fonction de deux variables u et v de classe C² (deux fois continument dérivable) au voisinage d'un point (u_o,v_o) et admettant en ce point un extremum (annulant donc ses dérivées partielles premières). Posons, en omettant les variables (u_o,v_o) afin de simplifier les écritures:

• Si Δ > 0 : f admettra un minimum (resp. un maximum), suivant que ∂²f/∂u² (ou ∂²f/∂v² qui possède alors le même signe) est strictement positive (resp. négative).

• Si Δ < 0 : ni maximum, ni minimum.

• Si Δ = 0 : cas douteux.

Si vous séchez après avoir bien cherché : ››››

MA² + MB² + MC² = (x - a)² + (y - a')² + (x - b)² + (y - b')² + (x - c)² + (y - c')²
                              = 3x² +3y² - 2x(a + b + c) - 2y(a' + b' + c') + a² + b² + c².

Notons  f(x,y) cette somme et recherchons les points critiques de f, c'est à dire les couples (x,y) annulant ∂f/∂x et ∂f/∂y :

• ∂f/∂x = 6x - 2(a + b + c) ,  ∂f/∂x = 6y - 2(a' + b' + c')

• ∂f/∂x = ∂f/∂y = 0 si et seulement si x = (a+b+c)/3, y = (a'+b'+c')/3 : unique point critique. On reconnaît là les coordonnées du centre de gravité du triangle ABC.

Il s'agit maintenant de montrer qu'il s'agit bien d'un minimum :

• ∂²f/∂x² = 6 > 0 ,  ∂²f/∂y² = 6  ,  ∂f/∂x∂y = 0. Donc Δ = ∂²f/∂x² x ∂²f/∂y² - (∂²f/∂x∂y)² = 36 > 0. En vertu du résultat rappelé, G est effectivement l'unique point minimisant la somme MA² + MB² + MC².