ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 MAYNARD James, anglais, 1987-
Médaille Fields 2022 |
Source
portrait :
MFO (Institut de recherche en
mathématiques, Oberwolfach).
James Maynard étudia à Cambridge, puis à Oxford (Balliol College) où il soutint sa thèse de doctorat, Topics in Analytic Number Theory (2013, » réf.1a) consacrée à la répartition des nombres premiers qui devint sa spécialité dans la continuité des travaux de Yitang Zhang et Terence Tao généralisant la notion de nombres premiers jumeaux
En 2014, Maynard reçoit le prix Sastra Ramanujan (» réf.2) et, en 2015, la très honorifique Clay Research Award, bourse de recherche du Clay Mathematics Institute. Après des séjours d'enseignement et de recherches au Canada (Montréal) et aux États-Unis, Princeton en particulier, James Maynard obtiendra une chaire à Oxford en 2017. Il reçoit le prix Cole en 2020 et la médaille Fields en 2022 "pour ses contributions en théorie analytique des nombres, qui ont conduit à des avancées majeures dans la compréhension de la structure des nombres premiers, et en approximation diophantienne".
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Le Congrès International des Mathématiciens, qui devait se tenir à Saint-Pétersbourg (Fédération de Russie), fut déplacé à Helsinki (Finlande) en raison de l'invasion russe en Ukraine.L'IMU (Union mathématique Internationale) écrit plus longuement à son sujet :
James Maynard made spectacular contributions in analytic number theory. His work is highly
ingenious, often leading to surprising breakthroughs on important problems that seemed to be inaccessible by current techniques.Some of the most famous questions in number theory regard the distribution of prime
numbers. While the large-scale distribution of prime numbers is governed by the Prime Number Theorem (and more precisely, but conjecturally, by the Riemann Hypothesis), many natural problems deal with short (or sparse) scales. Maynard has obtained many remarkable results in this direction.For instance, while the sequence of prime numbers generally becomes increasingly sparse, he showed that there are infinitely many “prime clusters”, of any fixed size m, each contained in a bounded interval (the bound necessarily depending on m). This is a marked improvement on the famous result of Zhang, which established the case m = 2, which had been obtained a few months before.
Maynard's method, at once elegant and powerful, pushed the boundaries of sieve theory in a particularly surprising way. In a seemingly opposite direction, Maynard went on to show that sometimes primes are much more sparse than average, a well-known Erdös problem on which no qualitative progress had been made for decades.
Maynard has also produced fundamental work in Diophantine approximation, having solved the Duffin–Schaeffer conjecture with Koukoulopoulos
(ci-après et » réf.7). This conjecture, posed in 1941, can be thought of as the ultimate generalization of Khintchine's Theorem (» réf.8), describing how well a typical real number can be approximated by rational ones.Soit, sensiblement :
James Maynard a apporté des contributions spectaculaires à la théorie analytique des nombres. Son travail est hautement ingénieux, menant souvent à des percées surprenantes sur des problèmes importants qui semblaient être
inaccessibles par les techniques actuelles.Certaines des questions les plus célèbres de la théorie des nombres concernent la distribution des nombres premiers. Alors que la distribution à grande échelle ("grands" nombres)
des nombres premiers est régie par le théorème des nombres premiers (et plus précisément, mais conjecturellement, par l'hypothèse de Riemann), beaucoup de problèmes élémentaires traitent de suites courtes (ou clairsemées). Maynard a obtenu de nombreux remarquables résultats dans ce sens.Par exemple, alors que la suite de nombres premiers devient généralement de plus en plus clairsemée, il a montré qu'il existe une infinité de « clusters premiers », de taille fixe m, chacune contenue dans un intervalle borné (la borne dépendant de m). Il s'agit d'une nette amélioration par rapport au célèbre résultat de Zhang, qui avait établi le cas m = 2 quelques mois auparavant.
La méthode de Maynard, à la fois élégante et puissante, a repoussé les limites de la théorie des cribles (les plus connus étant historiquement ceux d'Ératosthène et de Legendre) d'une manière particulièrement surprenante. Dans une direction apparemment opposée, Maynard a ensuite montré que les nombres premiers sont parfois beaucoup plus plus clairsemés que la moyenne, un problème d'Erdös bien connu sur lequel aucun progrès qualitatif n'avait été fait depuis des décennies.
Maynard a également produit des travaux fondamentaux sur l'approximation diophantienne,
en résolvant (juillet 2019), avec Dimitris Koukoulopoulos, la conjecture de Duffin-Schaeffer (» ci-dessous et réf.7). Cette conjecture (désormais théorème), publiée en 1941, peut être considérée comme la généralisation définitive du théorème de Khintchine (» réf.8), décrivant à quel point un nombre réel typique (non rationnel) peut être approximé par des nombres rationnels.Conjecture de Duffin-Schaeffer/Théorème de Maynard-Koukoulopoulos (» réf.7b) :
Soit f une fonction positive de N dans R+,
φ la fonction indicatrice d'Euler : φ(n) = Card {k, k∈N,
1 ≤ k ≤ n - 1, pgcd(k,n) = 1} et A
l'ensemble des nombres réels α de [0,1] admettant une infinité de
réduites a/q
approchant α et vérifiant |
α - a/q| ≤ f(q)/q.
Alors si Σ φ(q)f(q)/q = +∞ (la série diverge vers l'infini),
alors l'approximation s'applique pour presque tous les α de [0,1].
Autrement dit, A ⊂ [0,1] est de mesure 1 pour la mesure de Lebesgue : les réels α de [0,1] non éléments de A en constituent un sous-ensemble de mesure nulle (sous-ensemble fini ou dénombrable). Noter que le cas f(q) = 1/q correspond à la preuve par Dirichlet (1842) d'une conjecture de Legendre portant sur l'approximation diophantienne selon laquelle pour tout x irrationnel, il existe une infinité de rationnels a/b tels que |x - a/b | ≤ 1/b2.
➔ Pour en savoir plus :
a) La thèse de James Maynard, Topics in
Analytic Number Theory (2013) sur le site d'l'université d'Oxford (139
pages) :
https://ora.ox.ac.uk/catalog/uuid:3bf4346a-3efe-422a-b9b7-543acd529269
a) Les Médaillés Fields 2022 :
https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal/fields-medals-2022
b) Motivations de l'ICM2022
relatives à James Maynard :
https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2022/IMU_Fields22_Maynard_citation.pdf
Vidéo Youtube, J. Maynard expose ses travaux (Helsinki, juillet 2022) :
https://www.youtube.com/watch?v=un-z8kgOrV0
Polymath project : The bounded gaps between primes, A retrospective
analysis :
https://www.ems-ph.org/journals/newsletter/pdf/2014-12-94.pdf#page=15
Conjecture de Duffin-Schaeffer (1940) :
• Richard Duffin (1909-1996), mathématicien et physicien américain »
wiki
• Albert Charles Schaeffer (1907-1957) »
wiki
• Homepage de Dimitris-Koukoulopoulos (1984-) :
https://dms.umontreal.ca/~koukoulo/
a) sur CultureMath : De la conjecture de Duffin-Schaeffer au théorème de
koukoupoulos-Maynard :
https://culturemath.ens.fr/thematiques/graphes/de-la-conjecture-de-duffin-schaeffer-au-theoreme-de-koukoulopoulos-maynard
b) On the Duffin-Schaeffer conjecture (par Koukoulopoulos & Maynard) :
https://arxiv.org/pdf/1907.04593.pdf
c) sur le site de Gérard Villemin :
http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/Duffin.htm
Alexandre Iakovlevitch Khintchine (ou Khinchin, 1894-1959), mathématicien russe qui fut un spécialiste en théorie des probabilités avant de se tourner vers la théorie des nombres, dont l'approximation diophantienne. » Constante de Khintchine, Théorème central limite de Khintchine.
Scholze