ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

HORNER William George, anglais, 1786-1837

Willima Horner étudia à Bristol à la Kingswood School dont il deviendra le directeur. On doit à cet algébriste divers algorithmes : résolution des équations algébriques, division des polynômes, calcul des valeurs d'une fonction et de ses nombres dérivés en un point donné.

» Horner s'investit également en optique avec son zootrope (du grec zôon = animal et tropos = action de tourner), petite machine d'animation, ancêtre du stroboscope, montrant les différentes phases du mouvement, d'un animal par exemple. 

Historique du cinéma (pages de Claude Thinès) : »           Zootrope sur YouTube  : »

Méthode (ou schéma) de Horner (1819) :  

Cette méthode revendiquée par Horner mais en fait, selon les historiens, utilisée implicitement bien auparavant par divers mathématiciens, dont les chinois Hyan Hui et Ch'in Chiu-Shao (13è siècle) et Newton, permet le calcul d'une expression polynomiale évitant l'usage des puissances et est utilisée aujourd'hui dans la programmation des calculateurs.

Exemples :    

7x2 + 5x + 3 = (7x + 5)x + 3
2x3 + 7x2 + 5x + 3 = ((2x + 7)x + 5)x + 3
11x4 + 2x3 + 7x2 + 5x + 3 = (((11x +2)x + 7)x +5)x + 3

D'une façon générale, un polynôme P, tel que P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + ao, est construit au moyen de la suite de polynômes Po, P1, …,Pn = P et la récurrence

Pk+1(x) = xPk(x) + an-k    avec Po(x) = an.

Ce qui fournit par récurrence :

P(x) = (((...(anx + an-1)x + an-2)x + an-3 )x + … +a1)x + ao

Cette technique présente un grand avantage dans la programmation d’algorithmes sur ordinateur : ne faisant appel qu'à l'addition et à la multiplication ordinaires, elle est peu coûteuse en temps de calcul et beaucoup plus précise comparée aux calculs des puissances de x nécessitant, hormis une boucle itérative, l'appel aux développements limités des fonction logarithmique et exponentielle :

y = xn ⇔ lny = n × lnx ⇔ y = en × lnx

Un exemple d'application de la méthode :    

Recherche du quotient de la division d'un polynôme par un facteur du 1er degré du type x - a :

  Division polynomiale par x - a utilisant le schéma de Horner : »

 ➔  Pour en savoir plus :

Binet   Fresnel
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