ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 BOOLE George,
anglais, 1815-1864
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Alicia Boole Stott |
Autodidacte,
brillant latiniste, instituteur (il ouvrit une école privée), Boole s'initie aux mathématiques en étudiant
les œuvres de Lagrange et de Laplace et se fait connaître par de premières
publications dans le Cambridge mathematical Journal. Encouragé par
de Morgan, il est à l'origine de la
notion
d'ensemble et du "calcul" sur ces
ensembles (classes d'objets : classes of things) liant la
logique mathématique au calcul algébrique (The
Mathematical Analysis of Logic, 1847).
Boole résolut ainsi un des problèmes fondamentaux de formalisation du langage et du raisonnement, que se posaient les mathématiciens depuis Leibniz. La pertinence de ses travaux lui permirent l'obtention (1849) d'une chaire de mathématiques au Queen's Collège de Cork (Irlande du sud).
On considère souvent Boole comme le créateur de la logique moderne. Son algèbre de la logique, L'algèbre de Boole, qu'il exprime en 1854 dans son traité An investigation of the laws of thought (sur les lois de la pensée), est aussi utilisée de nos jours en électricité, en électronique et dans la mise au point des algorithmes des machines automatiques. L'année suivante, il épousait Boole Mary Everest, nièce de George Everest qui donna son nom au célèbre mont népalais (8848 m), dont il fut un des professeurs particuliers. Il meurt prématurément d'une pneumonie à l'âge de 49 ans.
| Algèbres de Boole et anneaux de Boole: |
Un ensemble E possède une structure d'algèbre de Boole s'il est muni de deux lois de composition interne associatives et commutatives notées + (addition) et ∗ (multiplication) :
Les lois + et ∗ sont distributives l'une par rapport à l'autre et admettent un élément neutre (noté 0 et 1 respectivement avec 0≠1).
Tout élément de E est idempotent pour chaque loi : x + x = x et x ∗ x = x
Tout élément x de E possède un unique élément, dit complémenté de x, souvent noté x, vérifiant les principes du tiers exclu : x + x = 1 et de contradiction x ∗ x = 0.
On note (E,+,∗,0,1) une telle algèbre de Boole.
➔ Les algèbres de Boole ont pour modèle l'algèbre des parties P(E) d'un ensemble E muni de la réunion (∪) identifiée à l'additon (+), de l'intersection (∩) identifiée à la multiplication (∗) :
L'unité 1 est ici E, et l'élément nul 0 est la partie vide Ø;
x + x = x correspond à A∪A = A;
x ∗ x = x correspond à A∩A = A;
x correspond
pour une partie A à sa partie complémentaire
dans E, notée
EA
(notation de Bourbaki) ou CA
ou parfois A s'il
n'y a pas risque de confusion avec un contexte logique (négation de A)
ou probabiliste (événement contraire).
! Au sens des structures algébriques, une algèbre de Boole n'en est pas une : ce n'est pas un espace vectoriel ! Par algèbre, il faut entendre des règles calculatoires rappelant les calculs de l'algèbre usuelle.
Une algèbre de Boole permet de clarifier des situations logiques binaires complexes où interviennent de nombreuses propositions. Outre les circuits électriques et électroniques d'aujourd'hui, les expressions propositionnelles peuvent devenir extrêmement complexes, et les remplacer par un calcul algébrique permet de clarifier les situations logiques rencontrées.
A la fin du du 19è siècle, la construction de la théorie des ensembles de Cantor et les paradoxes qu'elle engendra, remarqués en particulier par Russell, devaient jeter un grand trouble dans les eaux calmes, depuis Aristote, du raisonnement logique.
Stone a établi cet intéressant résultat selon lequel :
Toute algèbre de Boole finie est
isomorphe à l'algèbre (P(E),∪,∩)
des parties d'un ensemble fini E.
Boole et ses algèbres sont à l'origine de la logique algébrique que développeront, dans les années 1940, des logiciens comme Henkin, Tarski, Robinson (et sa théorie des modèles), Stone et Lindenbaum, à la recherche d'une théorie rigoureuse de la démonstration et d'une pensée exempte de toute contradiction dans le cadre de ce qu'on appellera la métamathématique.
Toute algèbre de Boole peut être muni d'une structure d'anneau commutatif dans lequel tout élément est son propre opposé :
En savoir plus sur les algèbres et anneaux de Boole : » Algèbre de Lindenbaum : »
➔ Pour en savoir plus :
Weierstrass