ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Théorie mathématique, langage et théorie des modèles |
Théorie provient du grec theoria, lui même forgé sur théoreïn = observer, examiner, qui donna par extension sémantique le sens d'un ensemble d'arguments permettant d'expliquer un certain nombre d'observations dans un même ordre de faits.
Depuis Euclide d'Alexandrie, une théorie mathématique est définie par son domaine (son champ d'application), ses axiomes (ou postulats) et son langage (symboles, relations, lois logiques, syntaxe).
Les symboles sont les individus (éléments du domaine), les constantes (individus dont la valeur quantitative ou qualitative est précisée), les variables (individus dont la valeur, restreinte éventuellement à un sous-domaine, est non précisée), les relations (comme <, >, =,∈), les fonctions (dont des opérations algébriques), les quantificateurs (∀, ∃), les connecteurs logiques (ET, OU, ...). Un terme de la théorie est le composé d'un nombre fini de variables, constantes et fonctions.
Une formule (ou une expression) est une "phrase" du langage, construite au moyen des concepts énoncés ci-dessus et la syntaxe, tout comme en linguistique, est l'ensemble des règles régissant les combinaisons valides des expressions.
Une formule est dite satisfaisable (resp. valide) au sein d'une théorie s'il existe un modèle de cette théorie pour lequel elle est vraie (resp. si elle est vraie dans tous les modèles).
Gödel, théorie des langages et fonctions récursives : » » Frege , Tarski , Skolem , Church , Robinson
L'écriture a < b est une formule; si on assigne 1 à a et 2 à b, elle devient la proposition 1 < 2 vraie dans la théorie de l'arithmétique de N (domaine des entiers naturels).
1 + 1 = 0 est une proposition fausse dans l'arithmétique de N, mais elle est vraie dans celle de Z/2Z (» anneau des entiers modulo n).
Dans un ensemble E muni axiomatiquement de la structure de corps S d'élément nul n, d'élément unité u, le prédicat « il existe x tel que x*x + u = n » est vraie si E = R (n = 0, e = 1) mais fausse si E = Q. On peut dire que R est un modèle (infini non dénombrable) de (E,S). Que peut-on dire de Z/2Z, Z/3Z ? » anneau des entiers modulo n
» Langage propositionnel | La logique d'Aristote | Langage des prédicats | Tables de vérité
Le mathématicien américain Alfred Tarski est à l'origine, avec son compatriote Robinson, de la théorie des modèles (Le concept de vérité dans le langage des sciences déductives, 1933), branche aujourd'hui féconde de la logique portant sur la sémantique des langages mathématiques et la cohérence des théories construites au moyen de ces langages confrontées à des structures mathématiques (modèles) soumises à leurs axiomes.
Le modèle du physicien :
Les physiciens créent des modèles (du latin modellus, puis de l'italien modello : figure, maquette servant à la reproduction), systèmes intellectuels ou concrets conformes aux observations des phénomènes ou objets complexes étudiés et susceptibles de prédire leur comportement. Son outil principal est la mathématique.
Exemple : l'atome de Bohr (1913) est un modèle attaché à la théorie atomiste de la matière décrivant le mouvement des électrons au sein de la matière et permettant d'expliquer le rayonnement quantifié de ces électrons lorsque l'atome est soumis à un champ électrique. Les trajectoires circulaires, imaginées par Bohr autour du noyau atomique, furent remplacées par des trajectoires elliptiques permettant d'expliquer un plus grand nombre de systèmes (1915, A. Sommerfeld, allemand, 1868-1961) mais il manquait encore un maillon dans ce modèle qui s'est avéré encore trop rudimentaire : ce sera la mécanique ondulatoire élaborée par Louis de Broglie, puis Heisenberg et Erwin Schrödinger.
Petit saut dans le monde de la physique : »
Le modèle du physicien permet de découvrir d'autres lois régissant l'objet étudié et pourra être affiné, ou bien abandonné si son usage conduit à une contradiction par rapport à l'observation : le modèle n'est qu'une supposition de la réalité eu égard aux propriétés reconnues à un instant donné et la théorie du physicien se base sur le modèle en cours d'usage : le modèle précède la théorie.
Le modèle du mathématicien :
En mathématiques, contrairement au modèle du physicien, c'est généralement l'inverse, le modèle se base sur la théorie : la théorie précède le modèle et l'existence d'un modèle est à même de prouver la consistance de la théorie.
On peut donner une définition très simplifiée d'un modèle, conforme à l'intuition, selon laquelle une structure axiomatique S est un modèle d'une théorie T si toutes les formules de T sont vérifiées (satisfaisables) dans S. Le théorème de complétude de Gödel induit que toute théorie basée sur un système d'axiomes du premier ordre admet un modèle.
Théorème de complétude de Gödel : » Paradoxe de Skolem : »
Un cas trivial est donné par la structure
axiomatique de groupe (G,*). Des
modèles sont par exemple Z ou R munis de l'addition usuelle.
Mais non pas N.
Dans ses Fondements de la géométrie,
Hilbert reconstruit rigoureusement la géométrie euclidienne
par ajouts de certains axiomes puis il montre la non contradiction des
axiomes de sa nouvelle géométrie en créant un modèle analytique simple où
les points sont des nombres algébriques (»
réf.8).
En géométrie encore, afin de prouver l'indépendance du 5è postulat d'Euclide (si un point est extérieur à une droite, on peut mener une parallèle et une seule à cette droite) vis à vis des autres et l'impossibilité de le prouver au moyen de ces derniers, Lobatchevski le remplace par : si un point est extérieur à une droite, on peut mener deux parallèles. Il prouvait que la géométrie résultante était complète et non contradictoire. Des modèles de cette géométrie furent présentés par Beltrami et Poincaré.
➔ Cette immixtion dans la théorie des modèles reste volontairement très modeste et intuitive laissant le lecteur sceptique et dans l'expectative... C'est un difficile sujet de logique moderne relevant d'un 3ème cycle d'études universitaires et méritant par conséquent de ne pas être traité superficiellement. Pour un développement plus général et plus abstrait, on pourra se référer à des exposés plus élaborés in fine.
» de Morgan , Peano , Frege , Russel , Gödel , Church , Skolem , Henkin , Maltsev , Robinson , Ackermann, ...
| Problème de Tarski (1925) : |
Peut-on découper un
carré de sorte que les morceaux permettent de construire
un
disque de même aire ?
Ceci fait penser à la quadrature du cercle, mais le problème est différent et la réponse est positive (Laczkovitch, 1988).
➔ Pour en savoir plus (Langages, théorie des modèles) :
Qu'est-ce que la théorie des modèles ? page de Luck Darnière, maître de
conférences, Université d'Angers :
http://math.univ-angers.fr/~darniere/ThMod.html.
Théorie des modèles sur le «Portail de la logique» (Wikipédia,
article participatif non signé) :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorie_des_modèles.
Les
principes fondamentaux de la géométrie par David Hilbert
sur le site Numdam :
http://archive.numdam.org/article/ASENS_1900_3_17__103_0.pdf