Parallaxe d'un astre & distance Terre-Lune            » géodésie et triangulation

Une excellente approximation de la distance Terre-Lune fut établie en 1751 par les astronomes français Joseph Jérôme Le François de Lalande (1732-1807) et l'abbé Nicolas Louis de La Caille (1713-1762) par une méthode de triangulation calculant la parallaxe de la Lune, c'est à dire l'angle p d'où l'on verrait, depuis le point L de la Lune, un rayon terrestre TA ci-dessous, l'observateur étant en A. On doit à Friedrich W. Bessel le premier calcul de la parallaxe d'une étoile de notre Galaxie : l'étoile 61 du Cygne.

La parallaxe est dite horizontale si l'astre visé est à l'horizon de l'observateur : [LA) est perpendiculaire à [TA]; la parallaxe est alors maximale. La Terre étant aplatie aux pôles (rayon = 6357 km), plus large à l'équateur (rayon = 6378 km) : son "rayon" n'est pas constant.

Par convention, on ramène les calculs à une parallaxe horizontale et pour un rayon équatorial : on parle de parallaxe horizontale équatoriale. On évite ainsi les erreurs (de parallaxe...) liées à des observations faites en des points différents de notre planète. On a ainsi : sin p = AT/TL, et comme p est petit : p ≅ R/TL.

Eu égard à sa petitesse, la mesure directe d'une parallaxe n'est pas envisageable : elle serait entachée de grosses erreurs. Pour la Lune, proche de la Terre, donc de parallaxe relativement grande, on peut procéder à de nombreuses observations et établir une moyenne : ce calcul fut effectué par les astronomes grecs de l'Antiquité (comme Aristarque, Eratosthène, Hipparque, Ptolémée) conduisant à un remarquable résultat de 60 rayons terrestres pour la distance Terre-Lune, distance évaluée aujourd'hui à 60,27 rayons équatoriaux.

 ➔  Le parsec est une unité de mesure astronomique, terme contracté de parallaxe-seconde : il correspond à la distance d'où l'on voit le rayon moyen de l'orbite terrestre assimilée à un cercle, appelé unité astronomique (UA) sous un angle de 1 seconde d'arc. Cette définition fournit 1 parsec ≅ 3,2616 années-lumière (1 année-lumière est la distance parcourue par la lumière en 1 an à raison de 300 000 km/s) soit 1 parsec ≅ 3,0856 x 10¹³ km ou 206265 UA.

La parallaxe est un angle très petit : de Lalande se plaça à Berlin et de La Caille au Cap (Le Cap, Afrique du Sud, lieux situés (pratiquement) sur le même méridien (même longitude).

Ils calculèrent p = 57' 11" (57 minutes et 11 secondes), ce qui est excellent : aujourd'hui, on l'estime à 57' 2" et un réflecteur Laser placé par la NASA (National Aeronautics and Space Administration, U.S.A.) à la surface de la Lune permet de mesurer la distance Terre-Lune à chaque instant et à quelques centimètres près. Distance moyenne : 384 000 km.

 i  La parallaxe du Soleil est de 8",8 (ce qui fournit une distance d'environ 149 500 000 km).

Étudions comment calculer par triangulation la parallaxe horizontale de la Lune L en fonction de la parallaxe à un instant donné (parallaxe de hauteur), suite à la mesure en un point O de la Terre de la distance zénithale z = ^LOZ de la Lune L (angle par rapport à la direction du zénith de l'observateur O). La figure ci-dessous (n° 87, page 376 verso) et les calculs (pages 358 et 372) sont extraits de l'Astronomie de l'astronome de Lalande, tome 2, présente sur Google Livres (e-book gratuit).

On suppose la Terre sphérique et la trajectoire de la Lune circulaire. L'angle ^OLT = p' est la parallaxe de hauteur. L'angle ^THO = p est la parallaxe horizontale, observée lorsque la Lune est en H, soit lorsque ^HOT = 90°. L'angle h = ^HOL est la hauteur apparente de la Lune pour l'observateur O, dont l'horizon est [OH).

Dans le triangle OTH, on a : OT = HTsin p et dans le triangle OTL, la formule des sinus conduit à :

OT/sin p' = TL/sin^LOT

Mais TL = HT et sin^LOT = sin^LOZ = sin z. Le rapport HT/OT peut donc s'écrire de deux façons : HT/OT = 1/sin p = sin z /sinp', ce que de Lalande exprime ci-dessus (le sinus total signifiant sa valeur maximale, à savoir 1). Et, comme le dit fort justement ci-dessous le célèbre astronome, on peut ici assimiler p et p' à leur sinus, d'où :

p' = p × sin z = p × cos h.

Si maintenant, comme le firent de Lalande et de La Caille, on mesure les distances zénithales z₁ et z₂ en deux points éloignés d'un même méridien de part et d'autre de l'équateur, afin d'obtenir deux parallaxes p₁ et p₂, on aura :

      (1)

 ➔  Choisir deux points B et C étant éloignés augmente p1 + p2, donc la précision; et le fait de se placer de part et d'autre de l'équateur évite de procéder à une différence des parallaxes, ce qui nuirait encore gravement à la précision des calculs : on se reportera aux erreurs d'arrondi dans le cas d'une différence de deux nombres proches entachés d'erreur.

Les latitudes de B et C sont Φ₁ (nord) et Φ₂ (sud) : J. de Lalande et N. de La Caille utilisèrent les observatoires de Berlin (Allemagne : 52° 30' N, 13°25' E) et du Cap de Bonne Espérance (Afrique du Sud : 34° 21' S, 18° 28' E) en négligeant les 5° de différence de longitude.

Dans le quadrilatère BTCL, on a ^BTC = Φ₁ + Φ₂ , donc :

p₁ + p₂ = 2π - [(π - z₁) + (π - z₂) + (Φ₁ + Φ₂)] = z₁ + z₂ - (Φ₁ + Φ₂)               (2)

D'où la valeur de p au moyen de (1) et (2) ci-dessus. Compte tenu de la petitesse de p₁ + p₂ et des erreurs d'observation inévitables sur z₁, z₂, Φ₁ et Φ₂, cette formule théorique est inexploitable sans recours à plusieurs relevés, lors du passage de la Lune au méridien d'observation, afin d'en tirer une moyenne.

De plus, les mesures de chaque observateur doivent être simultanées et à l'époque point d'horloge atomique ! il fallait se fier aux distances de la Lune par rapport à des étoiles considérées comme fixes vu leur éloignement. La Caille fit un grand nombre de mesures ultérieures (une quarantaine) à Paris, Greenwich, Stockholm, Bologne.