ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Éclipses, rayon de la Lune & distance Terre-Lune selon Aristarque

La Lune, on le sait, est l'unique satellite de notre planète. La Terre "tournant" autour du Soleil et la Lune "tournant" autour de la Terre, il peut advenir un alignement Soleil-Terre-Lune tel que l'ombre de la Terre plonge (localement) la Lune dans l'obscurité : il y a éclipse de Lune (fig.1 ci-dessus). Suivant le lieu d'observation l'éclipse est totale ou partielle. Et si les centres des trois astres sont alignés, on parle d'éclipse totale centrale.

Aristarque pensa qu'il s'agissait d'un cylindre d'ombre. En fait, malgré la distance qui nous sépare du Soleil, c'est un cône d'ombre vu l'énormité de l'astre solaire par rapport à la Terre. Aristarque évalua le diamètre du cylindre d'ombre, donc le diamètre de la Terre, à 3 diamètres lunaires. On est en fait plus proche de 4 comme nous l'allons voir. Un demi-siècle plus tard, Eratosthène améliorera les calculs.

 !   Les schémas relatifs à notre étude ne respectent en rien les rapports de distances; en effet, compte tenu de la distance Terre-Soleil (environ 150 000 000 km) et des 695000 km du rayon solaire, un respect approximatif de ces rapports nécessiterait un schéma d'environ 12 m de large. De plus, Lune et Terre ne seraient pas plus grosses qu'une demi-tête d'épingle...

 !  L'orbite de la Lune (ellipse dont la Terre est un foyer) est inclinée d'environ 5° sur l'écliptique (plan de révolution de notre planète autour du Soleil) et son plan subit des perturbations périodiques dues au Soleil. Une éclipse de Soleil ne peut se produire que lorsque l'orbite de la Lune rencontre le plan de l'écliptique (les deux points possibles s'appellent les nœuds), ce qui explique le terme écliptique, et que la Terre se trouve alors "alignée" avec le Soleil et la Lune, entre ces deux astres.

Si la Lune se trouve entre le Soleil et la Terre, il y a une éclipse de Soleil, schématisée ci-dessous. Ces conditions pour les éclipses se retrouvent périodiquement : 2 à 7 par an tous les 18 ans et 11 jours. Cette période, le saros, fut découverte bien avant les Grecs par les Chaldéens, ancêtres des Babyloniens, environ 1000 ans av. J.-C. Le premier astronome de l'Antiquité ayant établi une théorie de la Lune susceptible de prévoir rationnellement les éclipses, fut Ptolémée. Une éclipse totale de Soleil fut visible en France le 11 août 1999. La prochaine aura lieu en 2081... : » Thalès.

Sur Wikipedia : liste (et explication) des éclipses de Lune | liste des éclipses de Soleil

 ➔   Nous allons calculer une approximation de la distance Terre-Lune, par une méthode proche de celle d'Aristarque basée sur l'observation et les connaissances suivantes :

• Rayon terrestre : R_T ≅ 6400 km :  » Eratosthène.
• Le soleil est un astre considérablement plus grand que notre petit satellite.
• La Lune est vue de la Terre sous un angle de 32 minutes (32/60 èmes de degrés)
  (en moyenne, car la trajectoire de la Lune autour de la Terre est elliptique).

Une éclipse totale de Lune dure au plus 1h 45' pour une durée de révolution autour de la terre de 29j 12h 44'. On admettra alors que lors de l'éclipse, dans un laps de temps aussi court, la trajectoire lunaire est sensiblement linéaire.

Notons R_S le rayon du Soleil, R_L celui de la Lune et δ la distance parcourue par la Lune dans l'ombre de la Terre lors d'une éclipse totale de durée maximale : dans ce cas le centre de la Lune rencontre l'axe du cône d'ombre : alignement des centres du Soleil, de la Terre et de la Lune.

Soit t_e le temps que met la lune à entrer dans l'ombre de la Terre et t_s le temps qu'elle met à en sortir complètement; les observations montrent que le rapport de t_s à t_e est de l'ordre de 3,7. On en déduit :

Par suite : δ/R_L ≅ 5,4

Lors d'une éclipse totale de Soleil : alignement Terre - Lune - Soleil, on constate que le disque solaire est exactement occulté par le disque lunaire : vu de la Terre, le problème se ramène à la géométrie plane (ci-dessous) et le diamètre apparent de la Lune (que voit l'observateur) est le même que celui du Soleil. On déduit de cette observation que :

où TS désigne la distance Terre-Soleil et TL la distance Terre-Lune.

Reprenons la figure 1, schématisée géométriquement ci-dessous :

 

L'application du théorème de Thalès permet d'écrire :

D'où, puisque R_L/R_S = TL/TS : x = (R_L/R_S + 1)R_T - R_L ≅ R_T - R_L  (R_L étant négligeable devant R_S).
Par suite, sachant que δ ≅ 2x et δ/R_L ≅ 5,4 : R_T ≅ 3,7R_L, ce qui fournit :

R_L ≅ 1730 km

La Lune est vue de la Terre sous un angle d'environ 32 minutes d'arc : exprimant ainsi que si O désigne l'œil d'un observateur, l'angle ^xOy mesure sensiblement 32'. La distance OL de l'observateur au centre de la Lune est alors :

                OL = R_L/tan(16') ≅ 371704 km

On peut donc estimer à 370 000 km la distance de la surface de la Terre à la surface de la Lune, eu égard aux simples observations à l'œil nu. En fait, cette distance varie entre 360 000 km et 409 000 km du fait de la trajectoire elliptique de la Lune autour de la Terre. Valeur moyenne : 384 500 km.

 ➔  Cette excellente approximation de la distance Terre-Lune fut établie en 1751 par les astronomes français Joseph Jérôme Lefrançois de Lalande (1732-1807) et l'abbé Nicolas Louis de La Caille (1713-1762) par une méthode de triangulation calculant la parallaxe de la Lune, c'est à dire l'angle p d'où l'on verrait, depuis le point L de la Lune, un rayon terrestre TA ci-dessous, l'observateur étant en A.

➔   Pour en savoir plus :

1. Éclipses de Lune :
   a) Wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Éclipse_lunaire
   b) Observatoire de Paris : https://media4.obspm.fr/public/ressources_lu/pages_eclipses-lune/introduction-eclipses-lune.html

2. Éclipses de Soleil :
   a) Wikipedia : https://fr.wikipedia.org/wiki/Éclipse_solaire
   b) Observatoire de Paris : https://media4.obspm.fr/public/ressources_lu/pages_eclipses-soleil/types-eclipses_impression.html