ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Nombres parfaits   » Liens analogiques : Nombres quasi-parfaits , Nombres abondants , Nombre pratiques , Nombres amicaux , Nombres de Mersenne

Un nombre entier est dit parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres (diviseurs de ce nombre autres que lui-même : autrefois appelé parties aliquotes). Ce concept de "perfection" fut introduit par Pythagore de Samos.

Somme σ(n) des diviseurs d'un entier naturel n :  »

 !  On ne confondra pas cette notion avec celle, élémentaire de carré parfait, à savoir un entier naturel de la forme c² = c × c comme 1, 4, 9, 16, ... correspondant géométriquement à l'aire d'un carré dont le côté est mesuré par un nombre entier d'unités. » nombres puissants.

Revenons à notre sujet : 1 étant rejeté de par la définition, le premier nombre parfait est 6 = 1 + 2 + 3 est parfait. Inférieurs à 10000, il n'y en a que trois autres :

•  28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
•  496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.
•  8128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

On est enclin à remarquer, comme Euclide en son temps que :

• 6 = 2 × 3 = 2¹ × (2² - 1)
• 28 = 4 × 7 = 2² × (2³ - 1)

• 120 = 2³ × (2⁴ - 1) n'est pas parfait, car 2⁴ - 1 = 15 n'est pas premier, mais abondant : la somme de ses 24 diviseurs est supérieure à 120.

• 496 = 16 × 31 = 2⁴ × (2⁵ - 1)
• 8128 = 64 × 127 = 2⁶ × (2⁷ - 1)    découvert par par Nicomaque de Gérase
• 33550336 = 8192 × 4096 = 2¹² × (2¹³ - 1)
• ...

On constate par ailleurs que 3, 7, 31 et 127 sont premiers. Les nombres premiers de la forme M_n = 2ⁿ - 1 furent étudiés par Mersenne (1588-1648) et portent le nom de ce mathématicien français. C'est ainsi que l'étude des nombres parfaits pairs est liée à celle des nombres de Mersenne. L'existence de nombres parfaits impairs est encore de nos jours un problème ouvert. S'ils existent, ils sont extrêmement grands dépassant les 1500 chiffres décimaux !

Il est ainsi licite de conjecturer :

Tout entier de la forme 2^n-1(2ⁿ - 1), avec 2ⁿ - 1 premier, est parfait.

Euclide écrivit et prouva (Livre IX, prop. 36) :

Si, à partir de l'unité, tant de nombres que l'on voudra sont successivement proportionnels en raison double jusqu'à ce que leur somme soit un nombre premier, et si cette somme multipliée par le dernier fait un nombre, leur produit sera un nombre parfait.

Preuve : posons k = 2ⁿ - 1. Ce nombre étant premier, d'après le théorème de théorème de Gauss, les diviseurs de p = 2^n-1 × k, autres que p lui-même se limitent à  1, 2, ..., 2^n-1, k, 2k, ..., 2^n-2k. Vu que 1 + 2 + 2^n-1 = 2ⁿ - 1 et 1 + 2 + 2^n-2 = 2^n-1 - 1 (progressions géométriques), la somme des diviseurs de p est alors 2ⁿ - 1 + k(2^n-1 - 1) = k × 2^n-1 = p.

 ➔  La réciproque de ce résultat est vraie :

Tout entier parfait pair est de la forme 2^n-1(2ⁿ - 1), n > 1, avec 2ⁿ - 1 premier

Elle fut prouvée par Euler dans les années 1730.

Preuve : tout entier pair non nul peut s'écrire p = 2^n-1 × k avec k ≥ 1 et n ≥ 2. Si k est pair, on peut le diviser par 2 autant que nécessaire quitte à augmenter n. On peut donc supposer k impair. Selon un résultat sur la somme σ des diviseurs d'un entier naturel ,  σ(p) = σ(2^n-1 × k) = σ(2^n-1)σ(k) car k et 2^n-1 sont premiers entre eux. Comme rappelé ci-dessus σ(2^n-1) = 2ⁿ - 1 et p étant parfait, la somme de ses diviseurs propres est p, donc σ(p) = p + p = 2p. Ce qui conduit à k/σ(k) = (2ⁿ - 1)/2ⁿ.

Or, deux entiers consécutifs sont premiers entre eux (» identité de Bezout), on en déduit qu'il existe un entier naturel u tel que k = u × (2ⁿ - 1) et σ(k) = u × 2ⁿ. On aimerait bien u = 1 ! Si u > 1, σ(k) admet 1, k et u comme diviseurs distincts, d'où  σ(k) ≥ 1 + k + u. Mais 1 + k + u = 1 + u × 2ⁿ > u × 2ⁿ. Par suite u × 2ⁿ > u × 2ⁿ. Absurde, donc u = 1 et k = 2ⁿ - 1.

Il nous faut montrer maintenant que 2ⁿ - 1 est premier. On vient de prouver que σ(k) = σ(2ⁿ - 1) = 2ⁿ. Si  un entier p n'est pas premier, il admet au moins un diviseur d autre que 1 et on a  σ(p) - p = 1 + d + ... > 1. Donc 2ⁿ - 1 est premier.

Deux propriétés intéressantes des nombres parfaits :     

♦ 1.  Tout nombre parfait peut s'écrire sous la forme 2^n-1(2ⁿ - 1) = 2ⁿ(2ⁿ - 1)/2 : on voit donc qu'il est aussi la somme des 2ⁿ - 1 premiers entiers naturels (» Nicomaque). Autrement dit :

Si M_n est un nombre premier de Mersenne alors 1 + 2 + ... + M_n est parfait

Par exemple : M₅ = 31 est un nombre premier de Mersenne. Donc 1 + 2+ 3 + ... + 31 = 31 × 32/2 = 496 est parfait.

♦ 2. En étudiant le chiffre des unités des puissances successives de 2, on constate facilement que :

Tout nombre parfait pair se termine par 6 ou 8.

On peut confier à l'ordinateur le soin de calculer les premiers nombres parfaits ne dépassant pas sa capacité de traitement des nombres entiers.

Le programme utilise la même "astuce" que pour une recherche de primarité (ou primalité en franglais, propriété d'être un nombre premier) : si k divise n, alors k ≤ √n ou bien k > √n, l'éventualité k = √n ne se produisant que si n est un carré parfait, carré d'un entier (sans pour autant être nécessairement un nombre parfait...)

On limite la recherche à k ≤ √n, en effet : si k est un diviseur au plus égal à √n, n/k sera un diviseur supérieur ou égal à √n et la somme des diviseurs sera alors augmentée de k et de n/k. On obtient ainsi tous les diviseurs de n car d ≥ √n ⇔ d√n ≥ n ⇔ n/d ≤ √n, n/d aura donc été "déjà essayé".

Nombres F_p de Fermat :  »             Décomposition en facteurs premiers et somme des diviseurs :  »

 ➔   Pour "jouer", aidons un peu l'ordinateur en lui fournissant le 5ème nombre parfait ou presque... : on initialise à n = 33 550 335 au lieu de n = 1. Il s'agit donc de vérifier. L'écran affiche n = 33 550 336 immédiatement.