➔  On remarque au passage l'intéressante relation, valable pour tout x > 0 :

Γ(x + 1) = xΓ(x)

Noter que Γ admet un développement asymptotique (| x | "grand"). Voici les 4 premiers termes :

Legendre a démontré la formule :

Vu que Γ(1) = 1, on peut déduire de cette formule que Γ(1/2) = √π.

Gauss en a donné une forme généralisée où la précédente en est le cas particulier n = 2 :

Euler démontra la formule des compléments : si 0 < p < 1 , alors :

Conséquence, si p = 1/2 :

C'est l'intégrale dite de Gauss. Elle nous conduit, en utilisant la récurrence Γ(x + 1) = xΓ(x), à :

Weierstrass s'intéressa non seulement aux développements en série des fonctions, sommes infinies de type Σa_nf_n(x), mais aussi sous forme de produits infinis Πa_nf_n(x). Un exemple qui porte son nom est le développement de la fonction gamma Γ :

           » fonctions eulériennes

où γ désigne la constante d'Euler, limite pour n infini de  1 + 1/2 + 1/3 + ... +1/n - ln n. La preuve de la formule est simple si l'on part de celle d'Euler :

On utilise un petit artifice :

n^x = e^{xln n} = e^{xln n} × e^{-x - x/2 -... -x/n} × e^xe^x/2...e^x/n = e^{x(ln n -1 -1/2 -... -1/n)} × e^xe^x/2...e^x/n

En passant à la limite, on voit apparaître - γ dans la ( ) de l'égalité ci-dessus. Or n! = 1 × 2 × 3 × ... × n. Le quotient n!/[x(x + 1)...(x + n)] peut alors s'écrire : 1/x × (1 + x/1)(1 + x/2)...(1 + x/n). D'où Γ(x) est la limite pour n infini de :

ce qui conduit à la formule annoncée.

Si z désigne le nombre complexe x + iy, l'intégrale généralisée :

est absolument convergente pour tout z tel que x = Re(z) > 0. En effet, à la manière du cas réel, on a ici, en module : |e^-tt^z-1| = e^-tt^Re(z)-1| = e^-tt^x-1. On définit donc ainsi une fonction encore notée Γ :

Mais l'intérêt de passer dans le champ complexe réside dans le prolongement de l'existence de Γ pour des valeurs de z non réduites au demi-plan Re(z) > 0. Pour cela, on écrit :

et on remplace e^-t par son développement en série entière :

cette série converge uniformément en tout t de [0,1]. Par intégration terme à terme, on obtient sans difficultés :

car l'intégrale du membre central des égalités ci-dessus égale 1/(n+z). Dans tout disque D du plan complexe ne contenant aucun entier négatif ou nul, le critère de Weierstrass indique que la série obtenue ci-dessus converge uniformément : en effet, en module, le terme général est 1/(n + z)n! et on est alors assuré, dans chaque disque D, de l'existence d'un réel k > 0 tel que |n + z| > k, ce qui assure la convergence de la série majorante de terme général 1/kn!

Finalement, la fonction définie ci-dessous est encore notée Γ. Elle apparaît en effet comme le prolongement à C \ Z^- du cas réel (x > 0) ou complexe restreint à Re(z) > 0 :