Famille sommable

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Famille d'éléments, famille sommable » Suites & Séries

Comme on le voit à la page Grandi et à la page Leibniz, si une série Σu_n n'est pas à termes positifs et non absolument convergente (Σ|u_n| diverge), il est tout à fait illicite de changer l'ordre des termes et/ou de regrouper des termes afin d'en chercher la somme éventuelle :

la somme d'une série est la limite de la suite de ses sommes partielles S_n = u_o + u₁ + ... + u_n

La notion très générale de famille d'éléments permet de considérer un ensemble d'éléments non indexés par N, autrement dit non "numérotés" :

E désignant un espace vectoriel normé sur K = R ou C et I un ensemble quelconque, non vide, fini ou non, on appelle famille d'éléments de E, l'ensemble image de I par une application f de I dans E.

En notant u_i les images de I par f, notons Φ = (u_i)_i∈I la famille ainsi définie. On parle de famille indexée par I.

➔ Bien noter que I peut désigner R, c'est à dire ne pas être dénombrable ou bien, par exemple, N × N ou tout autre ensemble non numérique, par exemple {bleu, blanc, rouge}. Le cas I = N correspond au concept usuel de suite : si I = N, on peut lister les éléments de la famille en écrivant successivement u_o, u₁, u₂, ..., u_n ... mais cet ordre est ici arbitraire.

1/ Une famille Φ = (u_i)_i∈I est dite sommable de somme s ∈E pour signifier que pour tout ε > 0, il existe un sous-ensemble fini J_ε de I tel que pour tout J fini de I contenant J_ε, on ait ||Σu_i∈I - s || < ε :

∀ε > 0, ∃J_ε ⊂ I fini / ∀J, J fini, J ⊃ J_ε ⇒ ||Σu_i∈J - s || < ε (s)

Si Φ est numérique et indexée par N, la sommabilité (s) ci-dessus s'exprime par :

∀ε > 0, ∃n∈N / ∀n, n ≥ n_ε ⇒ ||Σu_{i ≤n} - s || < ε

C'est la définition d'une série numérique convergente de somme s.

1/ Si une famille Φ = (u_i)_i∈I est sommable, alors pour toute partie J finie de I, les sommes Σu_i∈J sont bornées.

En particulier, dans le cas d'une famille Φ = (u_i)_i∈I de nombres réels positifs, Φ est sommable si et seulement si Σu_i∈J est majoré pour tout J fini inclus dans I. La somme est alors la borne supérieure des Σu_i∈Jlorsque J parcourt l'ensemble des parties finies de I.

3/ Une famille (u_i)_i∈I est dite absolument sommable si la famille d'éléments (|| u_i ||)_i∈I est sommable.

4/ On montrerait facilement que si (u_i)_i∈I et (v_i)_i∈I sont deux familles sommables relativement à I de sommes respectives u et v, il en est de même de la famille (u_i + v_i)_i∈I de somme u + v.

En particulier, une famille (z_j)_j∈J = (a_j + ib_j)_j∈j de nombres complexes est sommable si et seulement si les familles des parties réelle et imaginaire sont sommables.

5/ Une famille Φ dans R ou C est sommable si et seulement si Φ est absolument sommable

6/ Dans R ou C, et plus généralement dans tout espace vectoriel normé, une famille Φ = (u_n)_n∈Nest sommable si et seulement si la série Σu_n est commutativement convergente. La série et la famille ont alors même somme.

➔ Pour en savoir plus :

Tout traité d'analyse niveau DEUG sciences. On peut citer :
Mathématiques générales, algèbre-analyse, Ch. Pisot & M. Zamansky. Ed. dunod, Paris, 1956.
Cours de mathématiques, Tome 2, Jacqueline Lelong-Ferrand, Jean-Marie Arnaudiès
Classes préparatoires, 1er cycle universitaire - Dunod Université - 1978 (4 volumes)
Mathématiques L2 : Cours complet avec 700 tests et exercices corrigés
ouvrage collectif sous la direction de Jean-Pierre Marco, Éd. Pearson Education - Paris, 2007