ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
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 Caustique par
réflexion |
Avez-vous remarqué au fond de votre tasse de café la jolie courbe qui se forme à la surface, d'autant plus visible que la lumière est rasante ? Après avoir lu l'étude ci-dessous, vous ne pourrez plus préparer votre petit déjeuner sans penser à l'épicycloïde, appelée aussi dans ce cas précis caustique d'un cercle par réflexion (du grec kausticos = brûlant).
La tasse nécessaire à notre étude sera de forme cylindrique (cylindre droit de fond circulaire). Un rayon de lumière zM, supposé rasant la surface du liquide ou le fond de la tasse, tombe sur la paroi interne et est réfléchi suivant Mz'.
Le
rayon lumineux zM se réfléchit en Mz'
en suivant la loi
de la réflexion : on
trace la normale (d) en M
(perpendiculaire à la tangente, en pointillé sur la
figure) : on obtient alors l'angle d'incidence ^(zM,d) =
α
(exprimé en radians). L'angle de réflexion étant
égal à l'angle d'incidence, on repart en Mz' de sorte
que (d) est bissectrice de l'angle ^zMz'.
L'angle α
peut varier de 0 (le rayon tombe en B et est réfléchi
sur lui-même) à π/2
(le rayon tombe en A et continue sa route...).
Le tracé de quelques rayons explique en partie l'allure de la courbe. Voici ce que fournit un ordinateur à qui l'on a fourni l'équation des rayons réfléchis que nous allons déterminer ci-après :
On remarque la concentration
des droites vers le bord de la courbe et surtout à la pointe
centrale
ce qui correspond à une concentration de lumière que
l'on observe effectivement
| Étude de la courbe : |
Définissons un repère orthonormé direct (Ox,Oy) comme indiqué (cf. ci-dessus). La courbe cherchée admet manifestement (Ox) comme axe de symétrie. On peut se contenter d'étudier le phénomène dans le quadrant (AOB) et compléter par symétrie.
La normale en un point d'un cercle passe par le centre de celui-ci, l'origine en l'occurrence. Par conséquent, en notant R le rayon de la tasse, on montrera facilement que :
Ainsi, notre caustique est l'enveloppe de toutes les droites (Mz') lorsque α varie de -π/2 à +π/2. Son équation est obtenue en dérivant (1) par rapport à α. Le système (s) obtenu :
x.sin 2α - y.cos 2α = R.sin α
2x.cos 2α + 2y.sin 2α = R.cos α
fournit facilement une équation paramétrique x = f(α) , y = g(α) de la caustique :
4x = R(3.cos α - cos 3α) , 4y = R(3.sin α - sin 3α) , α ∈[-π/2 à +π/2]
Une étude de x = f(α) et y = g(α) avec R = 4 conduit à la courbe ci-dessous, en bleu foncé, restreinte à la partie x ≥ 0. On a tracé en bleu clair le cercle de centre O de rayon 4. Complétée par symétrie par rapport à (Ox) et (Oy), la caustique est une épicycloïde, plus précisément une néphroïde possédant deux points de rebroussement en (±2,0).
Pour l'étude de cette courbe, noter que x est une
fonction paire de α et que y une fonction impaire : on peut
donc se restreindre à l'intervalle [0,+π/2].
x' = f
'(α)
= 6sinα(1 - 2sin2α)
s'annule alors en 0 et +π/4
et x croît ainsi de 2 à 2√2
puis décroît jusqu'à 0. Dans ce même
intervalle, y' = g'(α) = 12cosα(1 - cos2α)
≥ 0 : y croît de 0 à 4. En α = 0 et α = π/2, y' = 0, x'≠
0 : tangente horizontale. En α = π/4, x' = 0, y'≠
0 : tangente verticale.
➔ La néphroïde en tant qu'enveloppe des droites (Mz') générée par Cabrijava :
Si votre navigateur accepte les applets Java (»
extension CheerpJ)
:
Déplacez (doucement) le point
rouge du diamètre.
Pour réinitialiser, double-cliquez dans la figure.
Vous pouvez aussi placer un ressort pour rendre le processus automatique