ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Calcul de ln 2 au moyen de la série harmonique alternée  version tableur        » La version JavaScript et une accélération de convergence vous seront exposées en cliquant sur la clé.

Dans son Logarithmotechnia, Mercator calcule l'aire sous l'hyperbole x → 1/x, en exhibant le développement :

x - x²/2 + x³/3 - x⁴/4 + x⁵/5 - ...  (série de Mercator)

correspondant au développement en série de la fonction x → ln(1 + x) pour | x | ≤ 1.

Lorsque x = 1, la série est alors appelée série harmonique alternée, sa somme est ln 2 :

Selon un résultat de Leibniz, cette série étant alternée, l'erreur faite en limitant la somme au rang n est inférieure au terme de rang n + 1, donc inférieure à 1/n : la convergence sera donc certainement très lente.

• colonne A : rang n. La colonne est baptisée n : Insertion... Nom... Définir

• colonne B : on pourrait utiliser la fonction puissance du tableur : (-1)^n mais pour une alternance de signe suivant la parité de n, il est plus "joli" d'écrire :

 ➔  la fonction MOD(a,b) retourne le reste de la division de a par b.

• colonne C : il n'y a plus qu'à faire la somme des termes en initialisant C2 à B2; C3 contiendra C2 + B3 et on recopiera les formules vers le bas autant que désiré.

 

 

 

---

© Serge Mehl - www.chronomath.com