ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Étude d'une symétrie glissée           niveau TerS/SUP   (mais hors programme officiel TerS)                      » déplacements & antidéplacements

On considère, dans le plan, la figure ci-dessous :

• ABC est un triangle isocèle en A; M est un point de [BC].
• (MD) // (AC) ; (ME) // (AB) ; (AF) // (BC) ; (CF) // (AB).

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Vous pouvez déplacer les sommets A, B et C du triangle ainsi que le point M

1. Prouver que AD = EC.

2. Soit f une isométrie transformant A en C, D en E. Prouver que f(B) =A.

3. On suppose de plus que f transforme C en F et on rappelle qu'une application affine est entièrement déterminée par l'image d'un repère affine du plan (donnée d'un triplet de points non alignés).

Soit d la droite des milieux parallèle à (BC) dans le triangle ABC. Montrer que  f = T o S_d  où T est la translation de vecteur ½BC.

 ➔  On dit que f est une symétrie glissée.

3. Vérifier que  f = S_d o T = T o S_d : décomposition canonique de f.

1. Bonne petite question niveau 5ème; trivial au niveau TerS/SUP...

2. Posons a = DB, b = DA et B' = f(B). Le point D est le barycentre de (A,a) et (B,b), on a donc la relation  a.DA + b.DB = 0.
La transformation f étant affine, elle conserve le barycentre, d'où : a.EC + b.EB' = 0.
Or E est le barycentre de (A,EC) et (C,AE) et puisque AE = BD et DA = EC, on a aussi :
a.EC + b.EA= 0. C'est dire que B' = A (unicité du barycentre).

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3. Traçons (d) = (NP) et la médiatrice de [BC]; elle coupe [BC] en son milieu A₁. (AF) étant parallèle à (BC), avec les notations ci-contre, B₁ABA₁ et AC₁CA₁ sont des rectangles isométriques et on a les égalités vectorielles ½BC = B₁A = A₁C.

C'est dire que :

T o S_d(A) = T(A₁) = C et T o S_d(B) = T(B₁) = A

D'autre part, dans le parallélogramme ABCF les triangles isocèles ABC et CFA s'échangent dans la symétrie de centre P, milieu de [AC]. D'où l'égalité vectorielle : C₁F = ½BC et on a donc :

T o S_d(C) = T(C₁) = F

 ➔   T o S_d coïncide donc avec F sur trois points non alignés : par conséquent f = T o S_d.

 4. S_d oT(A) = S_d (C₁) = C;  S_d oT(B) = S_d (A₁) = A.
Notons C₂ = T(C); CC₁FC₂ est un rectangle et S_d oT(C) = S_d (C₂) = F. On peut donc conclure :

f = T o S_d = S_d oT