ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Apprendre à démontrer : une application des propriétés de la symétrie centrale           TD niveau 5è/3è        » en 3ème, on pourra utiliser la propriété de Thalès "croisée"

Observe la figure ci-dessus :

• On a tracé un triangle ABC et la médiane issue de A. Le point A' est le milieu de [BC];

• On a tracé les perpendiculaires à (AA') issues de B et de C; elles coupent (AA') en B' et C';

• On a tracé [BC'] et [B'C].

Il semble que BB'CC' soit un parallélogramme. Prouve-le en utilisant la symétrie de centre A'

 ➔    Élève de 3ème ? allergique aux symétries ? Tu peux utiliser la propriété de Thalès dans sa configuration dite "croisée" ou "papillon"...

Indications :

1. Puisque A' est le milieu de [BC], dans la symétrie s de centre A', le symétrique de B est le point C.

2. Justifie que les droites (BB') et (CC') sont parallèles.

3. Justifie que la droite (AA') est invariante dans la symétrie s.

4. Prouve maintenant que l'image par s de (BB') est (CC')

Complète :  

Le point B' est situé sur (.....) et sur (.....), par conséquent son symétrique est à la fois sur (.....) et sur (.....) : c'est donc le point C'.

Conclusion :     

Les diagonales du quadrilatère BB'CC' ont donc le même milieu A' : c'est un parallélogramme.

 ➔  En 3ème, on peut utiliser la propriété de Thalès et rédiger ainsi :

1. Les droites (BB') et (CC') sont parallèles car toutes deux perpendiculaires à (AA').

2. Les droites (BC) et (B'C') sont sécantes en A', les droites (BB') et (CC') sont parallèles : en vertu de la propriété de Thalès (configuration croisée), on a  A'B'/A'C' =  A'B/A'C.

Or A'B/A'C = 1/2 puisque A' est le milieu de [BC], donc A'B'/A'C' = 1/2; c'est dire que A' est aussi le milieu de [B'C']. Et la conclusion est la même que la précédente.