ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Construire, démontrer : quadrilatères & triangles particuliers        niveau 6è/5è

Dessine avec soin la figure décrite par ce programme de construction :

• Trace un cercle de centre O, de rayon 4 cm ; on appelle (c) ce cercle ;
• Trace un diamètre [AB] du cercle (c) ;
• Le cercle de centre A passant par O coupe le cercle (c) en deux points C et D;
• Trace le quadrilatère ACOD.
• Trace le segment [CB].

  i  Vérifie la figure obtenue en cliquant ici...

• 1°. Explique pourquoi le triangle AOC est équilatéral.
   
• 2°. Explique pourquoi ACOD est un losange.
   
• 3°. Explique pourquoi le triangle COB est isocèle.
   
  • Quel est son sommet principal ?
  • Quelle est sa base ?

Complète la figure en traçant le diamètre d'extrémité C qui recoupe le cercle en E.

• 4°. A ton, avis, sans expliquer, que peux-tu dire du quadrilatère CBEA ?
        Facultatif : Quelle justification peux-tu maintenant apporter à ta réponse ?

• 5°. Complète la figure en traçant :     
           ♦ Le segment [DE];
           ♦ Le diamètre d'extrémité D qui recoupe le cercle en F.

 ➔    Tu devrais obtenir un joli hexagone ADEBFC (6 sommets, 6 côtés) ressemblant à celui tracé ci-dessous : colorie alors 6 jolis triangles équilatéraux dont tu donneras les noms.

Si tu sèches après avoir bien cherché... : ››››

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© Serge Mehl - www.chronomath.com

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution :

1°) Le cercle de centre A passant par O a pour rayon AO = OA = 4cm : rayon de (c). Par conséquent AC = AO = OC = 4 cm. Le triangle AOC qui a trois côtés de même mesure est donc équilatéral.

2°) Pour les mêmes raisons qu'en 1°, on a AD = OD = OA = 4 cm ; le quadrilatère ACOD a donc quatre côtés de même mesure : AC = OC = OD = AD = 4 cm; c'est donc un losange.

3°) [OC] et [OB] sont des rayons du cercle (c); donc OC = OB. Par conséquent, le triangle COB qui a deux côtés de même mesure, est un triangle isocèle.

• son sommet principal est O (sommet d'où "partent" les côtés de même mesure).
• sa base est [BC] (côté opposé au sommet principal).

4°) On peut conjecturer (penser) que le quadrilatère CBEA est un rectangle.

Question facultative :   

Les diagonales du quadrilatère CBEA sont des diamètres de (c) : elles ont donc même mesure et même milieu : cette double propriété caractérise un rectangle.

 !   On ne pouvait pas affirmer ici (sans des connaissances sur les mesures des angles) que CBEA a tous ses angles droits. En fin de 6è et en 5è, on pouvait penser à 60° + 30° = 90°... 

Les 6 triangles équilatéraux ont pour nom :

AOC

AOD

ODE

OEB

OBF

OCF

 ➔  Dans le cas d'un triangle, on peut permuter l'ordre des lettres : par exemple, au lieu de OCF, on peut écrire : OFC, COF, CFO, FOC ou FCO.

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