ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

BTS Informatique de gestion (exercice proba. 1989)     niveau Sup  (facile)

On considère la variable aléatoire X exprimant les masses possibles d'une pièce à la sortie de sa fabrication : on admet que X est une variable aléatoire discrète don la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant :

Questions :

1. a) Vérifier que le tableau ci-dessus exprime effectivement une loi de probabilités.
    b) Calculer à 0,01 près l'espérance mathématique et l'écart-type de la variable X. On ne demande pas d'exprimer
        sur la copie les calculs intermédiaires.

2°/ On prélève successivement n pièces avec remise :
     a) On choisit n = 10; Quelle est la probabilité pour qu'au moins une pièce ait une masse de  320 g (arrondir à 0,01 près) ?
     b) Calculer la valeur minimale n_o de n pour que la probabilité d'obtenir au moins une pièce de 320 g soit supérieure à 0,9.

1°/ a) On fait la somme de toutes les probabilités attachées aux valeurs possibles des 7 masses :

0,06 + 0,12 + ... + 0,14 + 0,06 = 1. La somme des probabilités égale 1 : il s'agit bien d'une loi de probabilité.

b) L'espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X est la somme des m_i × p_i où m_i désigne les possibles valeurs de X et p_i la probabilité associée :

E(X) = 320 × 0,06 + 330 × 0,12 + ... + 380 × 0,06 = 350,1

L'écart-type de X est la racine carrée de la variance V, calculons-la (ci-dessous X² désigne la variable aléatoire dont l'ensemble des valeurs sont celles de X élevées au carré, m_i², munies des mêmes probabilités p_i) :

V(X) = E(X²) - [E(X)]² = 248,99 , d'où l'écart-type de X à 0,01 près : σ(X) = 15,78.

2°/ a)  ➔   Les tirages étant effectués avec remise, on est en présence d'une loi binomiale B.

L'événement la pièce tirée pèse 320 g a une probabilité p = 0,06. L'événement contraire a une probabilité de 1 - p = 0,94. B est définie par n = 10 et p = 0,06. Nous recherchons la probabilité de l'événement B ≥ 1:

P(B ≥ 1) = 1 - P(B < 1) = 1 - P(B = 0) = 1 - C_n^o × 0,06^o × (1 - 0,06)¹⁰ = 1 - 0,94¹⁰

P(B ≥ 1) = 0,46138... , soit 0,46 à 0,01 près

b) On cherche là, la probabilité P(B ≥ 1) > 0,9. C'est à dire 1 - 0,94ⁿ > 0,9, autrement dit 0,94ⁿ < 0,1. Passons aux logarithmes :

n × ln 0,94 < ln 0,1

ln 0,94 est négatif vu que 0,94 < 1. Par suite n > ln 0,1/ln 0,94. La calculatrice fournit n = 37,21 à 0,01 près. Mais n est un entier naturel, par conséquent la plus petite valeur possible de n est 38.