Médiatrice et mesures d'angles

ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Médiatrice et mesures d'angles TD niveau 6ème/5ème
Fournitures et matériel nécessaires : feuille blanche , règle graduée , compas , rapporteur, stylos ou crayons : noir , rouge , vert

Voici un programme de construction :

Vers le centre de la feuille, trace en oblique et en vert une droite d;
Trace un segment [AB] de 7 cm, « au-dessus » de d et parallèle au bord supérieur de la feuille;

Place le symétrique de A par rapport à d. Appelle-le A', trace le segment [AA'] et place son milieu I;
Trace en vert, en utilisant la règle et le compas, la médiatrice de [AB]; elle coupe d en O; Tu appelleras J le milieu de [AB];
Trace le cercle de centre O passant par A;

Vérifier la figure : ››››

1. Que constates-tu ? Explique pourquoi !

Marque en rouge l'angle ^A'OB et en bleu l'angle ^IOJ. Mesure-les avec soin.

2. Que constates-tu ? Explique pourquoi !

Si tu sèches après avoir bien cherché : ››››

Réponses :

Voici la figure générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre :

La même figure générée CabriJava pour Internet dans sa version dynamique :

Si ton navigateur accepte les applets Java (» extension CheerpJ) :
Tu peux déformer la figure en déplaçant la droite d, et les points A et B

♦ 1. On constate que le cercle de centre O passant par A passe aussi par B et A' car O est à la fois :

sur la médiatrice de [AB];
sur d qui est la médiatrice de [AA'] puisque A et A' sont symétriques par rapport à d.

et l'on sait que tout point situé sur la médiatrice d'un segment est à égale distance de ses extrémités :

OA = OB et OA = OA' , donc OA = OA' = OB

♦ 2. En mesurant soigneusement les angles ^A'OB et ^IOJ, on constate que ^A'OB = 2 x ^IOJ. Cela s'explique par le fait que, par symétrie (conservation des angles) :

[OI) est la bissectrice de ^AOA' : donc ^AOI = ^A'OI;
[OJ) est la bissectrice de ^AOB : donc ^AOJ = ^BOJ.

➔ Remarques :

Suivant l'inclinaison de d, les mesures des angles ci-dessus changent ! ce qui reste vrai, c'est la relation ^A'OB = 2 x ^IOJ. Tu peux vérifier cela en "déplaçant" d sur la figure dynamique
Si tu déplaces "horizontalement" le segment [AB], sans changer sa mesure, les mesures des angles restent invariantes. En effet ^IOJ garde alors la même valeur puisque d est invariante et (OJ) reste "verticale".