ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 

Jeu de dés...  (probabilités conditionnelles)

Peut-être êtes-vous importuné(e) par des emails intempestifs indésirables ? Par exemple pour des jeux en ligne.

Surtout ne répondez pas, comme l'a fait l'auteur de ces lignes, aux sirènes vous invitant aux « unsubscribe », ce sera pire car vous jetez alors votre adresse  en pâture sur le Ouaibe aux autres compères semblables, avides de vous compter parmi leurs clients de joueurs « on line » : le jeu de dés par exemple...

Mais c'est ici un mal pour un bien car cela m'a rappelé un petit exo de proba :

On lance deux dés (faces numérotées de 1 à 6).
Sachant que l'on n'a pas obtenu de double, quelle est la probabilité que le 1 ne soit sorti sur aucun dé ?

 ➔   Ce petit exercice est emprunté à P. Jaffard, professeur au Conservatoire National des Arts & Métiers, dans son livret
« Probabilités » édité chez Masson (1988) qui m'a été bien utile pour préparer, au siècle dernier, mes cours de BTS.

Fastoche... : Il y a, a priori, 6 x 6 = 36 éventualités équiprobables dont six doubles. Sachant qu'aucun double n'est sorti, il n'y a plus que 30 cas. Parmi ces 30 cas, l'événement « le 1 ne sort sur aucun dé » peut se produire 5 x (5 - 1) = 20 fois : aux cinq sorties du 1er dé, on ne peut associer que quatre autres, sinon on a un double. La probabilité est donc 20/30 = 2/3.

 ➔  On peut faire plus théorique en utilisant les probabilités conditionnelles : notre univers est constitué de 36 éventualités équiprobables dont 6 doubles. Pour tout événement E, on a Pr(E) = Card(E)/36 où Card(E) désigne le nombre d'éventualités de E.

Considérons les événements suivants :

• A = « le 1 n'est jamais sorti »

• B = « aucun double n'est sorti »

Nous cherchons la probabilité p = Pr(A/B) = Pr(A et B)/Pr(B).

• Pr(A et B) = (25 - 5)/36 = 20/36 car il y a 5 x 5 = 25 sorties possibles sans le 1 auxquelles on retire les cinq doubles restants (autres que le double 1.

• Pr(B) = 30/36 car on retire les 6 doubles possibles.

D'où p = (20/36)  ÷ (30/36) = 20/30 = 2/3.