ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Rectangle d'aire maximale pour un périmètre donné    TD niveau 2nde/1ère     »  Variante niveau 3ème/2nde ,  La reine Didon et les isopérimètres (niveau Sup)

De tous les rectangles qui ont le même périmètre quels sont ceux qui ont la plus grande aire ?

Indications :   

• Noter x la largeur du rectangle (x ≥ 0), sa longueur est alors de la forme x + k (k ≥ 0);
• Appeler p le périmètre donné.

Il s'agit de chercher la valeur de k qui maximise l'aire A(x) du rectangle.

•  Exprimer p en fonction de x et k et prouver que A(x) = px/2 - x² en éliminant k;

•  Justifier que A passe par un maximum lorsque x = p/4;
 
- En classe de 1ère, on pourra calculer A'(x) qui est un binôme du 1er degré en x dont le signe est facile à déterminer.
- En classe de seconde, vérifier que A(x) = -(x - p/4)² + p/16  (forme canonique).

•  En déduire la valeur de k; que dire alors de la longueur du rectangle ?

Conclusion :   

L'aire  A sera maximale si le rectangle est un carré (de côté p/4).