ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Géométrie du triangle     niveau 3ème/2nde

Observe bien cette figure géométrique :

• On a tracé un triangle ABC, la hauteur AH et la médiane AM issues de A;

• La hauteur AH a été prolongée d'une  longueur HD = HA;

• La médiane AM a été prolongée d'une longueur ME = AM.

1°/ On demande comparer les angles ^CBD et ^BCE ainsi que les segments [BD] et [CE].

2°/ [BD] et [CE] se coupent en S. Que représente (SM) pour les triangles SBC et SDE ?

1°/ Par construction, symétrie axiale, on a ^CBD = ^ABC, et les diagonales du quadrilatère ABEC se coupent leur milieu. ABEC est donc un parallélogramme et les angles alternes-internes ^ABC et ^BCE ont donc même mesure; par suite ^CBD = ^BCE.

Par construction, on a BA = BD et ABEC étant un parallélogramme, on a BA = CE et, par transitivité, BD = CE.

2°/ Le triangle SBC est isocèle de sommet principal S. Le point M est le milieu de sa base [BC]. (SM) est donc la médiatrice de [BC], et la hauteur issue de S dans le triangle SBC.

Concernant le triangle, considérons le triangle ADE : (BC) est la droite des milieux dans ce triangle. Ainsi [BC] est parallèle à [DE]. SBC étant isocèle, le triangle SDE l'est aussi de sommet principal S : (SM) est donc la médiatrice de [DE] et la hauteur issue de S dans le triangle SDE.