Vous sonnez au domicile d'une famille de deux enfants. La
porte s'ouvre. Un des enfants, un garçon, vous salue.
Quelle est la probabilité que l'autre enfant soit une fille ?
Pour éviter tout débat à
s'arracher les cheveux concernant d'éventuels jumeaux, nous dirons que nos
deux bambins sont nés séparément à au moins 9 mois l'un de l'autre...
De
plus, il est supposé tant l'indépendance des sexes d'une naissance à
l'autre que leur
équiprobabilité. Cette dernière propriété étant d'ailleurs fausse :
La réponse n'est pas 1/2 ! Quatre cas ont pu se produire dans cette famille :
une fille (F) puis un garçon (G) : FG, ou bien GF, ou bien FF
ou bien GG. Si un garçon vous a ouvert, alors il n'y a plus
que 3 cas possibles de même probabilité : FG, GG et GF et deux cas favorables : FG et GF.
La probabilité cherchée est donc
2/3.
➔
Mais pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué,
d'autant que certains diront qu'il n'y a pas lieu de distinguer FG et GF. Soit, mais dans ce cas, il n'y a plus
équiprobabilité des éventualités et le raisonnement élémentaire ci-dessus ("cas
favorables"/"cas possibles") ne tient plus.
On regroupe alors nos éventualités
comme indiqué sur l'arbre ci-dessous :
L'univers est ici Ω= {FF, FG,
GG} pour signifier {2 filles, 1 fille et 1 garçon, 2 garçons}.
Dans cet univers : Pr(FF) = Pr(GG) = 1/4 , Pr(FG) = 1/2.
Notons : Ef = « un des enfants (au moins) est
une fille » et Eg
= « un des enfants (au moins) est un garçon ».
La probabilité cherchée est Pr(Ef
/Eg) = Pr(Ef
et Eg)/Pr(Eg).
On utilise maintenant la formule des probabilités composées de
De
Moivre (probabilités conditionnelles). On a :
Pr(Ef et Eg) = Pr(« un enfant est une
fille, l'autre est un garçon ») = Pr({FG}) = 1/2
(probabilité a priori)
Pr(Eg) = Pr({FG, GG}) = 1/2 + 1/4 = 3/4;
Pr(Ef
/Eg) = (1/2)/(3/4) =
2/3
➔
Dans cet exercice, on voit qu'il ne faut
pas confondre l'indépendance des éventualités qui nous permet de construire
Ω et celle des événements que l'on peut définir dans cet univers.
L'apport d'une information supplémentaire
sur la composition de la famille nous montre la différence pouvant exister entre
des probabilités calculées à priori et a posteriori.
On aurait pu
bien sûr s'intéresser à la probabilité que le second enfant soit encore un garçon, on ne
s'étonnera pas de trouver 1/3.
Enfin, si
vous remplacez l'énoncé par : Vous sonnez au
domicile d'une famille de deux enfants. La porte s'ouvre. La mère vous salue
accompagné de son fils en disant « je vous présente mon aîné »,
alors la cause est entendue, la probabilité que l'autre enfant soit une fille
est 1/2 : connaissant cette information, de façon élémentaire il n' y a plus que
1 cas "favorable" (GF) sur 2 cas "possibles" (GF,GG).
De façon plus abstraite,
il nous faut ici distinguer de nouveau entre GF et FG : équiprobabilité a priori
des 4 éventualités, et si l'événement Eag = « l'aîné est un garçon »
conditionne notre univers, nous cherchons :
mais c'est franchement faire trop
compliqué pour un si petit exo...
Solution informatique... :
Pour les amateurs de programmation et de simulation, voici maintenant une façon
pragmatique de voir les choses :
Afin de vérifier notre probabilité
théorique de 2/3, on peut simuler le problème comme suit :
on tire au hasard un nombre x compris entre 0 et 1;
si x < 0,75, un garçon vous a ouvert la
porte : il y a au moins un garçon (et 3 chances sur 4 qu'il en soit
ainsi).
• on
incrémente un compteur p;
• on tire
alors au hasard un nombre y compris entre 0 et 1;
• si y <
1/2, on dit que l'autre enfant est une fille (il y a 1 chance sur 2 qu'il en
soit ainsi) et on incrémente un compteur f;
Si l'on répète cette expérience un grand nombre N de fois
(10 000 par défaut),
selon la loi faible des grands
nombres le rapport f/p tend vers la probabilité théorique
(le fait de diviser par p indique que l'on se place dans l'univers conditionné
par la présence d'au moins 1 garçon).
<SCRIPT
LANGUAGE=JavaScript>
function fg()
{
n=10000;
n=prompt("Combien d'expériences ? :",n)
if (n==null) {return} else n=eval(n)
p=0;f=0;
for (k=1;k<=n;k++)
{
x=Math.random();
if(x<.75){p++}
y=Math.random();
if(y<.5) {f++}
}
proba=Math.floor(f/p*100)/100;
alert("Je trouve une proba d'environ "+proba)
}
</SCRIPT>
! Si vous vous attachez à
la probabilité que le second enfant soit encore un garçon, le programme est le
même ! mais alors cette probabilité est aussi 2/3 et on a dit plus haut que c'est 1/3 (événement
contraire) ! Contradiction ? Non, car vu sous cet angle, il faudra diviser la probabilité finale par 2
(= factorielle 2) car le garçon que vous
présumez exister en second n'est pas celui qui vous a ouvert la porte et il ne
s'agit pas de le comptabiliser deux fois.
Fille
ou Garçon ? niveau
TerS/Sup
