ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Une drôle de moitié...     niveau 4ème/3ème

Voici ci-dessous un cône pouvant, par exemple, contenir de la crème glacée; il prend alors le nom de cornet (petite corne).

Si vous voulez partager équitablement ce cornet avec l'un de vos proches, à quelle distance de son sommet devriez-vous le couper (section perpendiculaire à l'axe du cône) ?

Attention : la figure est peut-être trompeuse...

Notons x = OK la distance de la section par rapport au sommet O, h la hauteur du cône,  r le rayon de la section et R celui de la base.

• Le volume du cône (cornet entier) est :

• Le volume du cône obtenu par section (en jaune) est :

Nous voulons l'égalité :

C'est à dire :

2r²x = R²h   ou encore :  2r² x  x/h = R²          (r1)

Or, selon la propriété de Thalès appliquée dans le triangle OHB, coupé par [AK] parallèle au côté [HB], on peut écrire :

OK/OH = AK/HB , soit : x/h = r/R

En remplaçant x/h par r/R, dans la relation (r1), on obtient :

2x³ = h³

Un peu de cours :    

♦ Deux nombres égaux a = b, ont des cubes égaux : a³ = b³. Inversement, selon la règle des signes, si deux cubes sont égaux : a³ = b³, alors les nombres sont égaux : a = b. Ce qui n'est pas nécessairement le cas pour les carrés : si a² = b², on peut aussi avoir a = - b.

♦ Par approximations successives, on peut trouver une approximation du nombre r tel que r³ = 2 : ce nombre r est appelé racine cubique de 2.

♦ Plus généralement, tout nombre r tel que r³ = a est la racine cubique du nombre a (a quelconque positif ou non).

• Par exemple, 3 est la racine cubique de 27;

• -2 est la racine cubique de -8;

• 1/2 est la racine cubique de 1/8

• le produit ab est la racine cubique du produit a³b³.

»  Newton , Rudolff

Revenons à notre exercice : soit r la racine cubique de 2, on a : r³x³ = h³, donc rx = h, et par suite : x = h/r, ou encore :

On voit qu'il faut couper "très bas"... : presque au 4/5 de la hauteur !

Question subsidiaire : si vous aviez partagé le cornet en deux à la moitié de sa hauteur, à quelle fraction aurait correspondu la partie conique (en jaune) ?
Rép. : 1/8. On est loin de la moitié ! en effet, il s'agit ici d'une réduction d'échelle 1/2 : les volumes subissent une réduction de coefficient (1/2)³ = 1/8.

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