ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Colle logique... (suite de Conway)    niveau CLG/LYC  |  compléments niveau SUP

Voici 6 lignes de chiffres. Quelle est logiquement la 7è ligne ?

1  

1  1

2  1

1  2  1  1

1  1  1  2  2  1

3  1  2  2  1  1

• ligne 2 : au-dessus de cette ligne, il y a "un 1" ... donc 1 1
• ligne 3 : au-dessus de cette ligne, il y a "deux 1" ... donc 2 1
• ligne 4 : au-dessus de cette ligne, il y a "un 2 et un 1" ... donc 1 2 1 1

Vu ?

Par conséquent, la réponse est :

La 8ème ligne serait :

etc.

Posons u₁ = 1, u₂ = 11, u₃ = 21, u₃ = 1211 ... On définit ainsi une suite (u_n) dans l'ensemble N des entiers naturels. On a ainsi :

• u₇ = 13112221;

• u₈ = 1113213211;

• u₉ = 31131211131221;

• u₁₀ = 13211311123113112211...

C'est une suite strictement croissante. On peut montrer que la suite ne contient que les chiffres 1, 2 et 3 et qu'à l'exception du 1er terme 1, chaque terme de la suite possède un nombre pair de chiffres. Vous montrerez facilement par récurrence que les termes de rang pair finissent par 11 et ceux de rang impair par 21.

Le rapport u_n+1/u_n converge vers une limite finie L, dite constante de Conway : L ≅ 1,303577. Ce nombre n'est pas transcendant mais algébrique de degré 71 (» Mathworld) !!! On peut l'exprimer sous forme de fraction continue :

L = [1,3,3,2,2,54,5,2,1,16,1,30,1,1,1,2,2,1,14,1, ...]      (source Mathworld)