Aire & carré

ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Aire & carré Apprendre à construire niveau 6è/5è

1° - Construis au moyen de la règle et du compas, un carré dont les diagonales mesurent 6 cm.

! Le rapporteur et l'équerre ne sont pas autorisés ! » Un p'tit coup de pouce ?

2° - Calcule maintenant la valeur exacte de l'aire de ce carré.

! Tu n'as pas le droit de mesurer le côté du carré construit ! » Un p'tit coup de pouce ?

3° - Cette question est indépendante des précédentes :
L'aire d'un carré est 32 cm². Pourrais-tu calculer la mesure exacte de sa diagonale ?

Si tu sèches après avoir bien cherché : ››››

Coup de pouce :

Dans un carré, les diagonales :

ont même mesure;
ont même milieu
sont perpendiculaires.

L'aire d'un triangle rectangle est facile à calculer quand on connaît la mesure des côtés de son angle droit : on peut dire qu'un triangle rectangle est la moitié d'un rectangle.

Solution :

1°- Construction du carré :

Je trace un segment [AC] de 6 cm de long;
Au moyen du compas et de la règle, je trace la médiatrice de [AC]; elle coupe [AC] en son milieu que j'appelle O.
Le cercle de centre O passant par A (donc de rayon 3 cm) coupe la médiatrice de [AC] en B et D.
Le quadrilatère ABCD est le carré cherché.

En effet, par construction, ses diagonales sont perpendiculaires, mesurent 6 cm et se coupent en leur milieu.

2°- Aire du carré :

le carré est constitué de 4 triangles rectangles isocèles de même sommet principal O;
les côtés de l'angle droit mesurent 3 cm.
Par conséquent, l'aire de chacun d'entre eux est 4,5 cm² car (3 x 3) ÷ 2 = 4,5. L'aire du carré est donc 18 cm².

3°- Diagonale du carré d'aire 32 cm² :

Appelons d la mesure de la demi-diagonale du carré.

L'aire du carré est 4 fois celle du triangle AOB qui est la moitié de d x d.
L'aire du carré est donc le double de d x d.
Par conséquent d x d = 16;
Donc d = 4 et la diagonale cherchée mesure 8 cm.