ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Arithmétique (nombres premiers et congruences)
niveau TerS spécialitéSujet Bac S juin 2005 - Centres étrangers |
A - On considère un entier naturel
N impair et non premier.
On suppose que N est de la forme a2 - b2 où a et b sont
des entiers naturels.
1°/ Montrer que les entiers a et b n'ont pas la même parité.
2°/ Montrer que N peut s'écrire comme produit de deux entiers naturels p et q. Quelle est la parité de ces deux entiers ?
➔ Notation des congruences : Dans toute la suite, [9] signifiera modulo 9
B - On admet que l'entier 250507 n'est pas premier et on se propose de rechercher les couples (a,b) d'entiers naturels vérifiant la relation :
(E) : a2 - 250507 = b2
1°/ On considère un entier naturel X :
a) Dresser le tableau des restes possibles de X [9] et de X2 [9].
b) Selon (E), on a : a2 - 250507 = b2. En utilisant a), déterminer les restes possibles modulo 9 de a2 - 250507. En déduire les restes possibles de a2 [9].
c) Justifier que les restes possibles de a modulo 9 sont 1 et 8.
2°/ Montrer que si le couple (a,b) vérifie la relation (E), alors a ≥ 501 mais qu'il n'existe aucune solution pour laquelle a = 501.
3°/ Dans cette question, on suppose que (a,b) vérifie (E); on recherche la plus petite valeur de a satisfaisant (E) :
a) Prouver que : a ≡ 503 [9], ou bien a ≡ 505 [9].
b) On considère le cas a ≡ 505 [9]. Déterminer le plus petit entier naturel k tel que (a,b) = (505 + 9k, b) soit une solution de (E). Préciser a et b.
C - 1°/ Déduire des résultats précédents une écriture de 250507 en un produit de deux facteurs.
2°/ Les deux facteurs sont-ils premiers entre eux ?
3°/ Cette décomposition est-elle unique ?
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| Solution : |
A - 1°/ Si a et b ont la même parité, ils sont tous deux pairs ou impairs.
S'ils sont pairs, alors a est de la forme 2m et b de la forme 2n, m et n entiers naturels. N étant un entier naturel, on peut supposer a ≥ b. N s'écrit alors 4(m2 - n2) : N serait pair, ce qui n'est pas le cas.
S'ils sont impairs, alors a est de la forme 2n + 1 et b de la forme 2m + 1, donc N = (2m + 1)2 - (2n + 1)2 = 4(m2 + m - n2 - n) et, là encore N serait pair : contraire à l'hypothèse.
En conclusion, a et b sont de parité distincte.
2°/ On a N = a2 - b2 = (a + b)(a - b) avec a + b et a - b entiers naturels. On pose p = a + b et q = a - b : N = pq. Les entiers a et b étant de parité distincte, p et q sont impairs.
B - 1°/ Les restes possibles de la division de X par 9 sont éléments de {0,1,2,3,4,5,6,7,8} suivant que X est de la forme 9k + r, r désignant le reste de la division de X par 9.
a) Avec ces notations : (9k + r)2 = 81k2 + 18rk + r2; donc (9k + r)2 ≡ r2 [9]
| X | 9k | 9k+1 | 9k+2 | 9k+3 | 9k+4 | 9k+5 | 9k+6 | 9k+7 | 9k+8 |
| X [9] | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| X2 [9] | 0 | 1 | 4 | 0 | 7 | 7 | 0 | 4 | 1 |
b)
Selon (E), a2 -
250507 est un carré b2. Les restes modulo 9 de a2 - 250507 sont donc 0, 1, 4 et 7.
Or, 250507 = 9 × 27834 + 1, donc 250507
≡ 1 [9] et puisque a2
= 250507 + b2, les restes modulo 9 de a2 sont 1, 2, 5 et 8.
c) Mais, selon le tableau ci-dessus 2, 5 et 8 ne sont pas des restes modulo 9 d'un carré. On en déduit que les seules possibilités de a [9] ne peuvent être que a = 9k +1 et a = 9k + 8, soit a ≡ 1 mod. 9 ou a ≡ 8 mod. 9.
2°/ Si a2 = 250507 + b2, alors a2 ≥ 250507; or 5002 = 250000 et 5012 = 251001. Si a = 501, alors b2 = 5012 - 250507 = 494.
Mais 494 n'est pas le carré d'un entier (√494 ≈ 22,226...). Il n'existe donc pas de solution pour laquelle a = 501.
3°/ On a vu que a > 501.
a) Selon B-1°c/, a est congru à 1 ou 8 modulo 9. Considérons l'entier 503, il vérifie 503 = 55 × 9 + 8. Quant à 505, il vérifie 505 = 56 × 9 + 1. On a donc 503 ≡ 8 [9] et 505 ≡ 1 [9]. Par transitivité de la relation de congruence, on en déduit que a est congru à 503 ou à 505 modulo 9.
b) a = 505 + 9k :
si k = 0, a2 =255025 et b2 = a2 - 250507 = 4518 qui n'est pas un carré parfait (√4518 ≈ 67,216...) : k =0 ne convient pas.
si k = 1, a = 505 + 9 = 514, a2 = 264196 et b2 = 11689 qui est le carré 117. Par suite k = 1 convient et c'est la plus petite valeur de a possible : (a,b) = (514, 117).
C - 1°/ D'après l'étude précédente : 250507 = (a + b)(a - b) = (514 + 117, 514 - 117) = 631 × 397. Ces deux nombres sont premiers : ils n'admettent aucun diviseur premier inférieur à leur racine carrée : » Nombres premiers, P2.
2°/ 631 et 397 étant premiers, ces deux nombres sont premiers entre eux.
3°/ Cette décomposition en produit de facteurs premiers est unique (résultat de cours).