ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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PENROSE Roger, anglais, 1931-            » représentations paradoxales de l'espace

Éléments biographiques : Encyclopedia britannica. Photo MFO

Éminent physicien et mathématicien, Roger Penrose est diplômé de l'université de Cambridge. Sa thèse (1958) porte sur les méthodes tensorielles en géométrie algébrique. Après s'être rendu aux États-Unis et avoir occupé divers postes d'enseignement, Penrose obtient un poste d'enseignement de mathématiques appliquées (1964) au Birkbeck College de Londres (centre de recherches rattaché à l'université de Londres).

Il rencontre le célèbre physicien Stephen W. Hawking (1942-2018), à droite, son compatriote et ami, qui fut victime au début des années 1960 de la maladie de Charcot qui, peu à peu, le paralysa totalement, et à qui l'on doit le célèbre ouvrage : Une brève histoire du temps, Trous noirs et bébés univers. Ils reçurent conjointement le prix Adams 1966 de l'université de Cambridge.

En 1973, Penrose obtient une chaire de mathématiques à Oxford, poste qu'il conservera jusqu'à sa retraite. L'année suivante, il invalide la conjecture selon laquelle tout pavage plan peut se ramener à un pavage périodique en présentant un contre-exemple étonnamment simple : le pavage de Penrose (mais "fallait y penser"...).

Roger Penrose apporta sa contribution mathématique à la théorie de la relativité générale appliquée à la cosmologie et aux singularités gravitationnelles comme celles des trous noirs (1969). Il travailla avec Hawking sur une théorie de l'origine de l'univers et l'hypothèse d'un Big-Bang récurrent (Cycles of time, 2010). Il reçut, avec Hawking, le prix Wolf 1988 pour la physique, fut anobli par la reine d'Angleterre en 1994 et reçut (2008) la prestigieuse médaille Copley de la Royal Society pour l'ensemble de sa carrière.

Certaines "grosses" étoiles peuvent, en fin de vie (réduction de l'énergie nucléaire due à la transformation de l'hydrogène en hélium) et en vertu de leur masse énorme, imploser (s'écrouler sur elle-même) plutôt qu'exploser. Sa densité devient fantastique ainsi que le champ de gravitation qu'elle engendre : capable de retenir les photons de lumière, elle devient invisible : un trou noir est né ! C'est un énorme piège à matière que l'on conçoit souvent comme une sorte d'entonnoir aspirant tout ce qui est à sa portée...

La découverte de tels phénomènes date des années 1960 avec celle des quasars (QUAsi Stellar Astronomical Radiosources), noyaux de galaxies très éloignées (environ 15 milliards d'années-lumière) dont on soupçonne la présence en leur sein d'amas de matière de masse considérable non visible : des trous noirs.

Petit saut dans le monde de la physique, relativité et théories quantiques :  »

→  Ci-dessus, photo de R. Penrose, lors d'une conférence.
Source : http://plus.maths.org/issue18/features/penrose/index.html Université de Cambridge

On sait, depuis le 19è siècle, que les milieux cristallins naturels possèdent de remarquables propriétés de symétrie. Ces symétries sont d'ordre 2, 3, 4 ou 6 (correspondant à 180°, 120°, 90° et 60°) mais jamais 5 : un tel ordre correspond, dans le plan, au pentagone régulier effectivement globalement invariant par rotation de 72° = 2π/5.

On constate ainsi que les ordres de symétrie cristalline de la nature conduisent à des angles remarquables "simples" conduisant à un pavage périodique de l'espace (tout pavage partiel possède un recouvrement par translation). Il n'en est pas de même avec 72° dont le cosinus vérifie :

où F désigne le célèbre et irrationnel nombre d'or.

!  Il n'est pas dit ici que dame Nature n'aime pas l'ordre 5: il suffit d'admirer une étoile de mer ou de s'intéresser aux oursins...   lien externes de l'UFR de Biologie, Université Pierre et Marie Curie (Paris VI)

Dans le pentagone régulier, il existe deux triangles isocèles remarquables, dits triangles de Penrose : type (A) : aigu et type (O) : obtus.

• type (A) : ^BAC = 36° et ^ABC = ^ACB = 72°;

• type (O) : ^BAC = 108° et ^ABC = ^ACB = 36°.

Prenons le côté du pentagone comme unité. En abaissant, dans chaque cas, la hauteur issue de A, on a, sachant que Φ = 2cos36° et vérifie l'équation Φ² = Φ + 1  ou encore Φ - 1 = 1/Φ :

 •type (O) : BC = 2AB x cos 36°, donc BC = Φ ;

•type (A) : 1/2 = AB x cos 72° = AB x (2cos² 36° - 1); ainsi : 1 = AB x (4cos²36° - 2)
                    = AB x (F² - 2) = AB × (F - 1) = AB/F, donc AB = AC =  Φ.

Ces deux types de triangles, ou leurs semblables de côtés proportionnels à 1, 1, Φ ou Φ, Φ, 1, sont souvent appelés triangles d'or :

Triangles d'or (exercice) : »

» Le triangle rectangle de côtés 3, 4, 5 est parfois triangle d'or pour sa qualité de triangle rectangle de mesures entières consécutives : 3² + 4² = 5². On le rencontre plus souvent sous l'appellation triangle égyptien.

Fabriquons maintenant deux losanges de côté Φ à partir des types (A) et (O). On remarquera que tout comme le losange jaune constitué de deux triangles d'or de type (A), le losange bleu est constitué de deux triangles d'or de type (O) : si 1 est le côté du pentagone générateur, les côtés de ces triangles mesurent Φ, Φ, Φ²  proportionnels à 1, 1, Φ :

 ➔   Contrairement à une conjecture que l'on croyait bien assise, à savoir que tout pavage du plan peut se ramener à un pavage périodique, Penrose montra que l'on peut obtenir un pavage non périodique en faisant usage de ces deux seuls types de "tommettes" judicieusement  placées, faisant d'ailleurs apparaître deux types de décagones, éventuellement imbriqués, comportant chacun 5 pavés de type (A) et 5 pavés de type (O) :

Pavage de Penrose : l'illustration ci-dessous est issue de l'Encyclopedia Britannica, requête = quasicrystal :

© Encyclopedia Britannica - 1994

On peut également obtenir un pavage non périodique du plan avec les tommettes obtenues comme indiquées ci-dessous :

pavage (très) partiel obtenu pas à pas grâce à l'applet aujourd'hui disparue,
anciennement à l'adresse : http://www.geocities.com/SiliconValley/Pines/1684/Penrose.html

 Pavages plans : »

C'est en 1984 que le physicien israélien Dany Shechtman troubla l'ordre tranquille des symétries cristallines en réussissant un alliage d'aluminium et manganèse dont la structure, comparable aux cristaux naturels, présentait une symétrie d'ordre 5 avec la caractéristique d'être non périodique : un pavage de l'espace, comparable à celui de Penrose pour le plan était ainsi exhibé. On qualifia cet alliage de quasiperiodic crystal que l'on contracte généralement en quasicrystal (en anglais) et quasi-cristal (en français).

Structures cristallines :  »               Le concept de cristal aujourd'hui (lien externe, en anglais) :  »

On doit aussi à Penrose, en 1958, avec la complicité de son père, quelques représentations paradoxales planes d'objets 3D qui inspirèrent le graveur hollandais Maurits Cornelis Escher (1898-1972) avec lequel il devint ami :

Pas convaincant ? Alors contemplez ce moellon... :

ou cet escalier de 8 marches qui monte, à moins qu'il ne descende, toujours... :

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Milnor  Audin Maurice

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