ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Nombres d'Euler & nombres ZigZag

Les nombres d'Euler se retrouvent curieusement, ainsi que d'autres entiers issus du développement en série de la fonction tangente, dans le problème combinatoire suivant :

Etant donné n objets numérotés 1, 2, ..., n, combien peut-on former de permutations de ces objets de sorte que leurs numéros croissent et décroissent alternativement. On parle de permutation alternée ou de permutation zigzag. Le qualificatif zigzag se justifiera ci-dessous.

Si nous prenons 1 objet, cas trivial : 1 cas             

Si nous prenons 2 objets, cas trivial encore : 1 cas

Si nous prenons 3 objets : 2 cas                          

il y a 3! = 6 façons (factorielle 3) de les permuter, mais seulement 2 façons de les permuter alternativement :

 ➔   On obtiendrait évidemment des permutations alternées commençant par 3 en décidant que les numéros décroissent et croissent alternativement. Il suffit de considérer les permutations ci-dessus en les lisant à l'envers.

Si nous prenons 4 objets : 5 cas                          

Il y a 4! = 24 façons (factorielle 4) de les permuter, mais seulement 5 façons de les permuter alternativement :

commençant par 1	2	,
commençant par 2	2	,
commençant par 3	1
commençant par 4	0	néant

Si nous prenons 5 objets : 16 cas                        

Il y a 5! = 120 façons (factorielle 5) de les permuter, mais seulement 16 façons de les permuter alternativement :

commençant par 1	5	,  ,
commençant par 2	5	,       ,
commençant par 3	4	, ,
commençant par 4	2	,
commençant par 5	0	néant

 ➔  Si vous êtes toujours là... :  il y a un moyen simple permettant de dénombrer les permutations alternées : reprenons les résultats des tableaux précédents :

Vous constatez, sur les 5 premières lignes, que l'on passe de la ligne n à la ligne n + 1, en écrivant alternativement de gauche à droite (ligne paire) ou de droite à gauche (ligne impaire), donc en ZigZag, les nombres obtenus en cumulant ceux de la ligne n et en commençant toujours par 0. On en déduit (en rouge) les cas n = 6, n = 7, ...

La solution de ce problème combinatoire n'est pas simple. Il semble avoir été résolu par un mathématicien français au sujet duquel je manque d'information : dans sa Concise encyclopedia of Mathematics, Eric W. Weisstein précise que le sujet fut étudié par Désiré André dans deux mémoires publiés par l'Académie des sciences de Paris : Développements de sec x et tan x (1879) , Mémoire sur les permutations alternées (1881). Dans son Livre des Nombres, John H. Conway et Richard K. Guy font allusion à ces permutations mais le sujet n'est pas abordé de façon très précise.

 i  Toute information sur Désiré André, normalien, professeur agrégé de mathématiques (1863) sera la bienvenue.  i 

♦  Les nombres Zig (colonne 1) sont en fait les valeurs absolues des nombres d'Euler que l'on retrouve dans le développement de la fonction sécante :

Pour cette raison, on les nomme parfois aussi nombres sécants. Ils sont impairs.

♦  Quant aux nombres Zag (diagonale), on les retrouve dans le développement de la fonction tangente, lequel peut ainsi s'écrire :

et dont le terme général t_n est alors :

  , B_2n désignant ici la valeur absolue des nombres de Bernoulli.

A l'exception du premier, Les nombres Zag, aussi appelés nombres tangents, sont pairs et définis par :

En ajoutant la sécante à la tangente, on obtient la fonction :

dont le développement "normalisé"  sous la forme Σ znxn/n! fournira les nombres ZigZag pour n ≥ 1.

Nombres de Catalan :  »