ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
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Un segment [AB] de longueur constante se déplace sur le demi-cercle. On note I le milieu de [AB]. A et B se projettent orthogonalement en A' et B' sur le diamètre. Que peut-on dire du triangle IA'B' ?
La figure dynamique ci-dessous est générée au moyen du logiciel de géométrie dynamique Cabri Géomètre, dans sa version CabriJava pour Internet :
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Java
(»
extension CheerpJ
) :
Tu peux déplacer le point A sur le
demi-cercle
Si tu sèches après avoir bien cherché : »
| Solution : |
On conjecture (conjecturer = penser, présumer) que le triangle A'IB' reste isocèle et, mieux, qu'il reste semblable à lui même : ses angles sont constants. Montrons cela !
Rétablissons quelque peu la symétrie en traçant le cercle entier et en plaçant les symétriques A" et B" de A et B par rapport au diamètre (A'B') :
) : • I est le milieu de [AB], A' est celui de [AA"], B' celui de [BB"];
• Dans les triangles ABA" et ABB" on a respectivement IA' = A"B/2 et IB' = AB"/2 (en application de la droite des milieux, ou de la propriété de Thalès);
• Dans la symétrie d'axe (A'B'), [AB"] a pour image [A"B], donc A"B = AB".
Le triangle A'IB' est donc isocèle.
• [AB] gardant une mesure constante, il en est de même de l'arc AB et en tant qu'angle inscrit interceptant un tel arc, l'angle ^AB"B garde une mesure constante. Or ^AB"B = ^IB'B : angles correspondants formés par les parallèles (IB') et (AB") coupées par la sécante (BB').
Par suite, ^IB'A' garde une mesure constante. Il est clair qu'un triangle isocèle dont un des angles est invariant (en mesure) voit ses deux autres angles posséder cette même propriété.
Triangle mobile
niveau 3ème