ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Théorème de Wilson

p désignant un entier naturel, le nombre (p - 1)! + 1 est divisible par p
si et seulement si p est premier

La démonstration de ce théorème est évidente si l'on sait que si p est premier, Z/pZ est un corps et que dans un champ de Galois (corps fini), le produit des éléments non nuls est égal à -1.

Preuve du théorème de Wilson en utilisant le corps Z/nZ :  »

Ce théorème peut aussi se démontrer de façon relativement élémentaire, objet de cette page, en utilisant la notion de congruence. Le théorème peut alors s'énoncer :

 ➔   Rappelons que dire a ≡ -1  [p] revient à dire a ≡ p - 1  [p] : ajouter p dans les deux membres et remarque que p ≡ 0   [p]

♦  1/ si (p - 1)! ≡ -1  [p] , alors p est premier :

En effet, si p est non premier, il admet au moins un diviseur d tel que 1 < d < p et par conséquent p = kd avec également 1 < k < p.

• Si k et d sont distincts, k et d sont alors présents dans la liste 1, 2, 3, ... (p - 1) et il suit que (p - 1)! est divisible par p, donc que (p - 1)! = 0  [p].
• Si k et d sont égaux, alors p = k². Si k est non premier, on peut se ramener au cas ci-dessus. Une difficulté surgit si k est premier : Or k est présent dans la liste 1, 2, 3, ... (p - 1).
  Montrons alors que l'on rencontre un multiple de k dans la liste (k + 1)(k + 2)(...)(p - 1).
  
  On a p - 1 = k² - 1 = (k + 1)(k - 1).

-  Si k > 2, alors p - 1 ≥ 2k, car k + 1 > k et c'est gagné :le double de k, au moins, figure dans la liste.

-  Si k = 2, alors p = 4 et (p - 1)! = 6. Or 6 ≡ 2  [4] et non pas -1 (équivalent à 3)

En conclusion, si p n'est pas premier, (p - 1)! ne peut être congru à -1  [p]. On a donc ainsi prouvé, par contraposition, notre proposition.

♦ 2/ si p est premier , alors (p - 1)! ≡ -1  [p]  :

Lemme :   

Si p est premier et si p divise le produit ab, alors p divise a ou bien p divise b

Ce résultat est bien évident ! C'est une conséquence du théorème de Gauss.

• si p = 2, c'est gagné : le cas est trivial car (2 - 1)! = 1 et 1 ≡ -1  [2]

• pour p > 2, considérons la liste de facteur 2, 3, ..., p - 2 extraites du produit (p - 1)!
  Nous avons un nombre pair p - 3 de valeurs car p est premier supérieur à 2. Montrons que l'on peut associer à tout facteur x de la liste un unique facteur y de cette même liste et autre que x de sorte que xy ≡ 1  [p].

-  unicité : si xy ≡ 1 [p] et si xz ≡ 1 [p], alors x(y - z) ≡ 0 [p]. Comme p est premier, selon notre lemme, il divise x ou y - z, donc x ≡ 0 (à rejeter) ou (y - z) ≡ 0, c'est dire que y ≡ z [p] et comme y et z sont inférieurs à p, il suit que y = z.

-  existence : pour k vérifiant 2 ≤ k ≤ p - 2, considérons la liste k, 2k, 3k, ..., k(p - 1). Tous ces produits sont distincts et non nuls. Ils le sont aussi (distincts et non nuls) modulo p puisque p est premier (supposer ak = bk [p] et raisonner comme précédemment) et forment donc une suite de p - 1 nombres modulo p, à savoir 1, 2, ... (p - 1). Un seul de ces produits vaut 1 modulo p.

• ce n'est pas k puisque 2 ≤ k ≤ p - 2.
• ce n'est pas k(p - 1) car k(p - 1) = kp - k ≡ -k [p] ≡ p - k  [p]. Donc k(p - 1) est au moins égal à 2.
• c'est donc un produit de la liste 2k, 3k, ..., k(p - 2) et c'est gagné.

Ainsi en regroupant les facteurs de (p - 1)! deux par deux, nous aurons, modulo p :

C.Q.F.D.