ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
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Les séries « Renard »

En 1870, un militaire français, Charles Renard, officier du génie, spécialiste des aérostats (dirigeables, montgolfières) constatait que l'armée utilisait 425 câbles de divers diamètres pour l'attache et la construction de ces appareils.

Renard calcula que 17 devaient suffire; les diamètres seraient en progression géométrique qu'il s'agira de définir par classes. Il créa alors les séries portant son nom :

dont les éléments furent appelés nombres normaux.

 !   A ne pas confondre avec les nombres normaux définis par Borel en 1909.

i/ La série R5 :

On définit la progression géométrique de 1er terme u_o = 1, de dernier terme u₅ = 10. Sa raison est donc q = 10^1/5 (racine cinquième de 10).

On obtient les termes de R5 en multipliant par 10 et en arrondissant à l'entier le plus proche :

ii/ La série R10 :

Le principe de construction est d'intercaler un terme moyen géométrique entre deux termes consécutifs de la suite R5. Si q est la raison de R5 et q' celle de R10, a et aq deux termes consécutifs de R5, on doit avoir par construction : c = aq' et aq = q'c, donc q'² = q et par conséquent q' =  √q = 10^1/10 (racine dixième de 10).

Les premiers termes de R10 sont donc :

 ➔   Les arrondis utilisés font coïncider un terme sur deux avec la série R5. On ne doit pas s'étonner d'une légère distorsion avec les calculs : R10 doit contenir R5 et l'A.F.NOR. peut décider, pour des raisons techniques, d'un arrondi par excès ou par défaut! On peut construire les séries R20 et R40 de raison respective 10^1/20 et 10^1/40.

Considérons la série R10; il y a 11 termes u_o=1 à u₁₀ = 10. Les indices (rangs) vont donc de 0 à 10. Pour la série R20, on insère un terme moyen géométrique entre deux termes d'indices j et j+1 : soit r l'indice du nombre inséré; si on veut conserver les indices de la série R10, on doit écrire (q^r)² = q^j . q^j+1 et par conséquent r = j + 1/2: les indices de R20 sont donc fractionnaires de demi en demi.

Si on intercale maintenant les nombres de la série R40, on obtiendra des nombres compris entre q^j et q^j+1/2, donc des indices allant de 1/4 en 1/4. Remarquons alors que si X est le nombre normal d'indice n de la série, on doit avoir X = qⁿ, donc n = log X/log q, ce qui s'écrit encore

Les indices possèdent donc les propriétés des logarithmes.

Quel serait le diamètre normal d à choisir pour un arbre moteur sachant :

P = 400 CV , N = 110 t/min,  diamètre théorique

On a d = 165,7 environ : en utilisant les propriétés logarithmiques des rangs dans la table R40 :

Soit Rg(d) ≅ 3/4 + [ 6 - 1/2] = 2,125. Ce qui se lit sur la table R40 entre 160 et 170. Il ne vaut mieux pas réduire le diamètre de l'arbre moteur , on choisit alors de préférence 170.

• Dans la cotation des dessins industriels, des tables de nombres normaux sont à la disposition des techniciens avec en regard les valeurs à éviter : la série R20 avec une base de 100 fournit 100 , 110 , 125 , etc. Il faut éviter 105 et 120 ou passer à la série R40 qui donne alors 106 et 118.
  

• Il existe d'autres normes comme le système SI (Système International); ce système est utilisé, par exemple, pour le calcul des pas de filetage.