ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges
 
Remarques sur le calcul des quartiles |
Dans le cas discret, pour une série de petits effectifs, les notions de quartiles n'ont guère d'intérêt et, tout comme pour la médiane, leurs calculs sont alors faussés suivant la divisibilité ou non par 4 de l'effectif total. Le choix de Q1 et de Q3 peut relever du casse-tête ! Voyons cela pour une série {x1, x2, ..., xn} de n observations.
En théorie, et autant que faire se peut, Q1 correspond à 25% d'observations inférieures ou égales et 75% supérieures ou égales. Symétriquement, Q3 correspond à 75% d'observations inférieures ou égales et 25% supérieures ou égales.
La médiane correspond à 50%. Notons-la M mais on pourrait aussi la noter Q2 comme ci-dessus.
Lorsque n est pair, n = 2k, la médiane est interpolée entre xk et xk+1. On prendra alors Q1 en tant que médiane de {x1, x2, ..., xk=n/2} et Q3 médiane de {xk+1, ..., x2k=n}.
Lorsque n est impair, n = 2k + 1, la médiane M est exactement en x(n+1)/2 = xk+1. On prendra alors Q1 en tant que médiane de {x1, x2, ..., M=xk+1} et Q3 médiane de {M=xk+1, ..., x2k+1=n}.
Étudions la situation en fonction de la divisibilité de n par 4 : soit alors q le quotient de la division euclidienne de n par 4 et r le reste. Quatre cas se présentent :
• n = 4q, r = 0. n est pair. Dans ce cas, la médiane est interpolée en (xn/2 + xn/2+1)/2 avec n/2 = 2q, pair.
Q1 = méd{x1, ..., x2q}, Q3 = méd{x2q+1, ..., x4q}. On choisit donc :Q1 = (xq + xq+1)/2, Q3 = (x3q + x3q+1)/2
• n = 4q + 1, r = 1. n est impair. Dans ce cas, la médiane est exactement en x(n+1)/2 = x2q+1 avec 2q + 1 impair :
Q1 = méd{x1, x2, ..., M} = xq+1 , Q3 = méd{M, ..., x4q+1} = x3q+1
Exemple avec n = 17, q = 4 : x1 • • x4 Q1 x6 • • M • • x12 Q3 x14 • • x17
• n =
4q + 2, r = 2. n est pair.
Dans ce cas, la médiane est interpolée en
(xn/2 + xn/2+1)/2
avec n/2 = 2q + 1, impair.
Dans ce cas impair,
on a Q1 = méd{x1, x2,
..., xn/2=2q+1} = xq+1 , Q3 = méd{xn/2+1=2q+2,
..., x4q+2}= x3q+2
• n = 4q + 3, r = 3. n est impair. Dans ce cas, la médiane est exactement en x(n+1)/2 = x2q+2 avec 2q + 2 pair.
Q1 = méd{x1, x2, ..., M}, Q3 = méd{M, ..., x4q+3}.
Q1 = (xq+1 + xq+2)/2 , Q3 = (x3q+2 + x3q+3)/2
