ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Point de Fermat-Torricelli          solution mécanique           » solution géométrique

Étant donné un triangle ABC dont la mesure d'aucun angle ne surpasse 120°, quel est le point minimisant la somme des distances MA + MB + MC ?

il s'agit d'un problème a priori purement géométrique. Donnons une solution mécanique de ce problème : trois poulies A, B et C fixées à une paroi plane et verticale supportent chacune un poids de masse m suspendu par un fil.

Les trois fils sont réunis en M comme l'indique le schéma et les mesures des angles du triangle ABC formé par les poulies sont tous trois inférieurs à 120°.

On constate à l'équilibre que les angles ^AMB, ^BMC et ^AMC mesurent tous trois 120°.

Expliquons ce phénomène :              

On considère un triangle JKL dont I est un point intérieur vérifiant :

IJ + IK + IL = 0  et IJ = IK = IL

On note L' le symétrique de I par rapport à (JK). On montre aisément les différents points suivants :

• les points L', I et L sont alignés;
• le quadrilatère JL'KI est un losange;
• le triangle JL'I est équilatéral;
• ^JIK, ^ KIL et ^ LIJ mesurent 120°;
• le triangle JKL est équilatéral.

Soit A', B' et C' les centres de gravité des trois masses. Lorsque le système est en équilibre, son énergie potentielle est minimale (principe de Dirichlet).

Or, les seules forces s'exerçant sur le système sont les poids en A', B' et C' et dirigées vers le bas Ainsi : h_A + h_B + h_C est minimale.

Remarquant que la somme des longueurs de fil, à savoir :

est une constante, on en déduit qu'à l'équilibre la somme AA' + BB' + CC' est maximale et donc que la somme MA + MB + MC est minimale.

En représentant les forces s'exerçant au point M à l'état d'équilibre, il apparaît alors que l'on a (appliquer les propriétés rencontrés dans le triangle JKL) :

Ceci caractérise géométriquement notre point.