ChronoMath, une chronologie des MATHÉMATIQUES
à l'usage des professeurs de mathématiques, des étudiants et des élèves des lycées & collèges

Combien faut-il de points pour définir une courbe algébrique ?

L'équation f(x,y) = 0 d'une courbe algébrique plane de degré n est de la forme :

Σa_k,px^ky^p = 0 avec k + p ≤ n

• Exemple de degré 2 : 2x² + 3y² + 6xy -7x + 2y + 4 = 0  contient tous les types de monômes possibles pour un tel degré, ce qui correspond à 6 = (2 + 1)(2 + 2)/2 = 6 coefficients. Mais 5 suffisent pour caractériser cette courbe : l'équation x² + 3y²/2 + 3xy -7x/2 + y + 2 = 0 est équivalente à la précédente en ramenant le coefficient de x² à 1.

• Exemple de degré 3 : x³ + 2y³ - 3xy² + x²y + 5x² - 3y² + xy + 7x - 3y - 5 = 0 contient tous les types de monômes possibles pour un tel degré, ce qui correspond à 10 = (3 + 1)(3 + 2)/2 = 10 coefficients. Là encore 9 suffisent.

Considérons un monôme x^ky^p. Pour chaque k (variant de o à n), p peut prendre les valeurs 0, 1,..., n - k. Ce qui fournit :

En appliquant la formule relative à la somme des n premiers entiers naturels, il y a ainsi, en première analyse, (n + 1)(n + 2)/2 coefficients a_k,p.

• Par exemple, pour le degré 4, on a les cas suivants :

  • d°4 : x⁴    y⁴   x³y   x²y²   xy³ →  5 cas

  • d°3 : x³    y³   x²y   xy²  →  4 cas

  • d°2 : x²    y²   xy  →  3 cas

  • d°1 : x     y  →  2 cas

  • d° : cte  →  1 cas

  Au total : 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 5(5 + 1)/2 = 15 coefficients, ce qui correspond à (4 + 1)(4 + 2)/2.

En fait, pour une courbe de degré n, au moins un des termes de degré n en x et y est non nul : en divisant tous les termes de l'équation par ce coefficient, on obtient (n + 1)(n + 2)/2 - 1 = (n² + 3n)/2 coefficients (au plus).

C'est dire que pour déterminer une courbe algébrique de degré n, il faudra se donner C_n = (n² + 3n)/2 points et résoudre alors un système linéaire de C_n équations à C_n inconnues.

• Trois points et non 5 suffisent cependant pour définir un cercle et un seul : dans un repère orthonormé, l'équation d'un cercle de centre A(a,b), de rayon r, est (x - a)² + (y - b)² = r², donc de la forme x² + y² + cx + dy + e = 0 : 3 coefficients, donc 3 points.