• Posons maintenant ds = α.dt. Dans ces conditions dM/ds = e₁ : on définit ainsi notre premier vecteur orthonormé du repère mobile cherché, vecteur unitaire tangent désormais noté τ, et un nouveau paramètre appelé abscisse curviligne de M.

• Dans le plan orthogonal à e₁ = τ, choisissons notre second vecteur e₂ en remarquant que dτ/dt fait partie de ce plan : notre second vecteur de base e₂ sera choisi unitaire et de même sens que dτ/dt. Il s'agit de la normale principale à la courbe, nous le notons désormais n. On a alors dτ/dt = de₁/dt = a_1,2.n : la coordonnée a_1,3 est nulle, donc aussi a_3,1.

Utilisons l'abscisse curviligne : 
dτ/dt = dτ/ds × ds/dt = a_1,2.n, ce qui conduit, en posant K =  a_1,2.dt/ds, à dτ/ds = K.n

• Soit b = τ ^ n, la binormale, produit vectoriel de τ par n. Le trièdre (τ, n, b) est ainsi orthonormé direct (par rapport au repère initial d'origine O). Posons aussi T =  a_2,3.dt/ds; on a alors :
  de₂/ds = dn/ds = a_2,1.e₁ +  a_2,3.e₃ = - a_1,2.e₁ +  a_2,3.e₃ = -K.τ + T.b

• Enfin, vu a_3,1 = a_3,3 = 0, il reste : de₃/dt = a3,2.e₂ = - a_2,3.e₂, d'où db/ds = - T.n

Soit, sous forme matricielle :

Montrons que K est la courbure en M(s) : on sait qu'elle est la limite du rapport Δâ/Δs lorsque tend Δs vers 0. Or, si on note α, β, γ les cosinus directeurs de la tangente en M(s), qui ne sont autres que les coordonnées du vecteur unitaire tangent τ,  et α + Δα, β + Δβ, γ + Δγ ceux de la tangente en M(s + Δs), l'angle Δâ entre les tangentes vérifie :

cos Δâ = α(α + Δα) + β(β + Δβ) + γ(γ + Δγ)         » cosinus directeurs, 4°

et l'identité de Lagrange permet d'écrire :

sin²Δâ = [α(β + Δβ) - β(α + Δα)]² + [β(γ + Δγ) - γ(β + Δβ)]² + [γ(α + Δα) - α(γ + Δγ)]²
          = (αΔβ - βΔa)² + (βΔγ - γΔβ)² + (γΔα - αΔγ)²

Passons à la limite lorsque tend vers 0 : le premier rapport du second membre tend vers 1, le second membre tend donc vers (dâ/ds)², carré de la courbure. Quant au numérateur du 1er membre, il devient (αdβ - βdα)² + (βdγ - γdβ)² + (γdα - αdγ)². On le développe en regroupant les  dα², dβ² et dγ² et en utilisant que α² + β² + γ² = 1 pour tout s (en tant que cosinus directeurs), on obtient :

Est-ce bien K² = (d²x/ds)² + (d²y/ds)² +(d²z/ds)² ? oui, car on sait que τ(α,β,γ) = dM/ds, donc α = dx/ds, β = dy/ds et γ = dz/ds : K est donc bien la courbure en M(s).

 ➔   Rappelons que la courbure K est l'inverse du rayon de courbure R : K = 1/R et par suite, si R est non nul, n = R.dτ/ds = R.d²M/ds². Si dτ/ds = K.n est nul (courbure nulle) alors est τ constant : les tangentes en M ont la même direction en tout point de J. L'arc de courbe étant continu, il s'agit d'un segment de droite. Inversement, si M décrit une droite, τ est constant et par suite K = 0

db/ds = - T.n. Par conséquent, en notant b(α',β',γ') :

Or, la torsion en un point M(s) est dû/ds, limite du rapport Δû/Δs lorsque tend Δs vers 0, Δû désignant l'angle entre les binormales de deux points infiniment proches M(s) et M(s + Δs). Un calcul en tous points semblable au précédent conduirait donc à :

 ➔  Si la torsion T est nulle, alors db/ds = - T.n = 0, donc b est constant : les tangentes en M restent donc parallèles à un plan (P) orthogonal à b. L'arc de courbe étant continu, ces tangentes sont alors nécessairement  dans un même plan. Par conséquent, il s'agit d'une courbe plane dans un plan parallèle à (P). Inversement, si M décrit une courbe plane, b est constant et par suite T = 0 : la courbe ne se tord pas, son plan osculateur est fixe.