Equation de Catalan

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Équation et conjecture de Catalan niveau TerS spéMath

On se propose ici d'explorer très modestement l'équation, dite de Catalan, d'inconnues entières x, y, n et p non nulles (équation diophantienne) :

xⁿ - y^p = 1

dont la recherche de toutes les solutions fut un problème ouvert jusqu'en 2002.

3¹ - 2¹ = 1 et, plus généralement, (x + 1)¹ - x¹ = 1 pour tout x : le cas n = p = 1 est évidemment trivial.
2² - 3¹ = 1, ainsi le quadruplet (x,y,n,p) = (2,2,3,1) est une solution. Ce cas est plus intéressant car en cherchant (bien) on n'en trouve pas d'autre de cette forme, c'est à dire :

2ⁿ - 3^p = 1 nécessite n = 2 et p = 1

Preuve :

Pour tout n, le reste de la division de 2ⁿpar 3 est 0, 1 ou 2;
Ce ne peut être 0;
C'est donc 1 ou 2;
» Vérifier que les puissances de 2 donnant le reste 1 dans la division par 3 sont les puissances paires,
les puissances impaires donnant 2.
Ainsi n est pair et s'écrit donc sous la forme 2m. L'équation se ramène donc à :

2^2m - 1 = (2^m - 1)(2^m + 1) = 3^p

Par conséquent, 2^m - 1 est un diviseur de 3^p.
En déduire que 2^m - 1 est aussi une puissance de 3 puis que m est nécessairement pair.

On en déduit par raisonnements successifs analogues que n est une puissance de 2 : n = 2^k.

k = 0 : n = 1; à rejeter.
k = 1 : n = 2; c'est le cas connu avec p = 1.
k = 2 : n = 4; 2⁴ - 1 = 15; à rejeter : ce n'est pas une puissance de 3.
k = 3 : n = 8; 2⁸ - 1 = (2⁴ - 1)(2⁴ + 1) = 15(2⁴ + 1); à rejeter.
k = ... : il est clair que 2ⁿ - 1 contiendra désormais 15 en facteur, donc 5, ce qui ne peut fournir une puissance de 3.

Conjecture de Catalan :

3² - 2³ = 1 fournit une solution non triviale de l'équation générale. Est-ce la seule ? C'est la conjecture de Catalan. Quoi qu'il en soit, on peut montrer que c'est la seule de cette forme, c'est à dire :

3^p - 2ⁿ= 1 nécessite p = 2 et n = 3

Preuve :

Pour tout n, le reste de la division de 2ⁿpar 3 est 0, 1 ou 2. Comme vu précédemment, si n est pair alors 2ⁿ ≡ 1 [3] (congruence modulo 3). Donc 3^p ≡ 2 [3]. Ce qui n'est pas possible. Il est donc nécessaire que n soit impair. Posons n = 2m + 1. Auquel cas :

3^p - 1 = 2 × 4^m

Une étude simple des puissances de 3 montre que si p est impair, alors 3^p ≡ 3 [4]. Nous aurions alors :

2 ≡ 2 × 4^m [4]

Ce qui est absurde. Par suite, si solution il y a, p est pair. Posons p = 2k. nous avons :

3^2k - 1 = (3^k - 1)(3^k + 1) = 2ⁿ

Il suit que 3^k - 1 est aussi une puissance de 2 et, tout comme précédemment, on en déduit que p est une puissance de 2, soit p = 2^u

u = 0 : p = 1; c'est le cas trivial 3¹ - 2¹ = 1.
u = 1 : p = 2; c'est le cas connu 3² - 2³ = 1.
u = 2 : p = 4; 3⁴ - 1 = 2ⁿ; à rejeter : 80 = 5 x 16 n'est pas une puissance de 2.
u = 3 : p = 8; 3⁸ - 1 = (3⁴ - 1)(3⁴ + 1) = 5 x 16 (3⁴ + 1); à rejeter
u = ... : il est clair que 3^p - 1 contiendra désormais 5 en facteur, ce qui ne peut fournir une puissance de 2.